Racine n-ieme

[Maths-ForumR]

Bonjour voila mon problème :

Soit n >= 1 et z appartenant a C
On pose w=e^(i2;)/n)

1)a. Rappeler la somme des racines n-iemes de l'unité
b. Pour j appartenant a [0;n-1, dvp Pk=(z+w^j)^n
c.En déduire que pour tout z, on a : Somme(0Indication on pourra utiliser un changement de sigma.

2) Prouver l'égalité : Somme(0

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour voila mon problème :

Soit n >= 1 et z appartenant a C
On pose w=e^(i2;)/n)

1)a. Rappeler la somme des racines n-iemes de l'unité
b. Pour j appartenant a [0;n-1, dvp Pk=(z+w^j)^n
c.En déduire que pour tout z, on a : Somme(0<j<n-1) de (z+w^j)^n = n(z^n +1)
Indication on pourra utiliser un changement de sigma.

2) Prouver l'égalité : Somme(0<j<n-1)(-1)^j cos ^n (j;)/n) = n/(2^(n-1))

Evite d'écrire en sms, ça peut nous empêcher de comprendre ce que tu veux dire :++:
Où bloques-tu ?
Quelles sont tes réponses pour les questions précédentes ?

[Maths-ForumR]

J'ai répondu a la 1.a et je bloque pour le reste

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Pour , tu peux utiliser la formule du binôme de Newton. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[Maths-ForumR]

oui mais je n'arrive pas a l'appliquer

[Sake]

Salut !



Evite d'écrire en sms, ça peut nous empêcher de comprendre ce que tu veux dire :++:
Où bloques-tu ?
Quelles sont tes réponses pour les questions précédentes ?

Je trouve ça parfaitement compréhensible...

[Maths-ForumR]

Pk= (z+w^j)^n = ;) (k=0 à n) (k parmi n) z^k (w^j)^n-k ?

[Sake]

Pk= (z+w^j)^n = (k=0 à n) (k parmi n) z^k (w^j)^n-k ?

Oui, mais je pense qu'il faut développer plus...

[Sake]

Non, pas besoin.

Ecris que

Que vaut ?

Edit : Rectification !!!!

[Maths-ForumR]

La somme des racine n-ieme de l’unité vaut 0

[Sake]

La somme des racine n-ieme de l’unité vaut 0

Relis-moi, j'ai fait une erreur. Désolé

[Maths-ForumR]

Je ne comprend pas l’étape après l’indépendance pouvez vous m'expliquer

[Maths-ForumR]

La somme (k de 0 à n-1) w^jk = Somme (k de 0 à n-1) (w^k)^j = 0 ?

[Sake]

Je ne comprend pas l’étape après l’indépendance pouvez vous m'expliquer

J'ai inversé les indices de sommation k et n-k puisque la sommation est symétrique. J'aurais pu le faire au début, d'ailleurs...

La somme (k de 0 à n-1) w^jk = Somme (k de 0 à n-1) (w^k)^j = 0 ?

J'en doute.

[Maths-ForumR]

Merci !

Dans mon cours La somme (k de 0 à n) w^k = 0

[Sake]

Merci !

Dans mon cours La somme (k de 0 à n) w^k = 0

Oui ok, mais c'est pas égal à la somme des .
Ca, tu peux encore dire que c'est (indice : Remarque bien que k est fixé) qui est une simple somme géométrique...

[Maths-ForumR]

Donc elle est égale a : w^k(n) -1 / (w^k - 1) ?

[Sake]

Donc elle est égale a : w^k(n) -1 / (w^k - 1) ?

Ouaip.

Et après, je suis pas trop sûr de mon calcul mais tu développes par l'angle moitié :



Ce qui donne

Puis remarque que et que

Edit : Tout ça dans le cas où

[Maths-ForumR]

Non, pas besoin.

Ecris que

Que vaut ?

Edit : Rectification !!!!

On ne peut pas dire que la 1er somme = (1+z)^n et la 2eme = w^k(n) -1 / (w^k - 1)
Soit au final (1+z)^n . w^k(n) -1 / (w^k - 1) ?

[Sake]

On ne peut pas dire que la 1er somme = (1+z)^n et la 2eme = w^k(n) -1 / (w^k - 1)
Soit au final (1+z)^n . w^k(n) -1 / (w^k - 1) ?

Attention, la deuxième est un terme en k, or k intervient comme indice de sommation dans la première. Il y a donc dépendance entre les deux sommes.