Question

[zaidoun]

Bonjour,
On sait que si f est différentiable sur un ouvert connexe U et tel que Df(x)=0 pour tout x dans U, alors f est constante.

Est ce qu'on peut dire si f est différentiable sur un ouvert U et tel qu' on a l'équivalence entre ( Df(x)=0 pour tout x dans U) et ( f est constante), que U est connexe?

Merci d'avance.

[arnaud32]

pour tout f?

[zaidoun]

Pour tout f différentiable sur un ouvert U et qui vérifie l'équivalence donnée.

[arnaud32]

Pour tout f différentiable sur un ouvert U et qui vérifie l'équivalence donnée.

pour tout f continue de U dans
ouvert de U
ouvert de U
f est constante sur et donc differentiable et de differentielle nulle
donc f est differentiable de differentielle nulle sur U
donc d'apres ta propriete constante

[zaidoun]

Est ce que U est connexe? Je pense pas

[arnaud32]

Est ce que U est connexe? Je pense pas

definition numero 4
http://fr.wikipedia.org/wiki/Connexit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)

[zaidoun]

Je trouve rien, le lien ne marche pas.
Je sais que U= (U_0) U (U_1) est connexe si U_0 est vide ou bien U_1 ( bien sur avec U_1 et U_0 sont deux ouverts).

De plus ce n'est pas ça ma question

[arnaud32]

Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ;
E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
Il n'existe pas dans E de sous-ensemble à la fois ouvert et fermé distinct du vide et de E ;
Toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.

[zaidoun]

la question es la suivante: si on a l’équivalence suivante

1)Df(x)=0, pour tout x dans U.

2) f est constante

Est ce qu'on peut dire que U est connexe.

[arnaud32]

oui si c'est vrai pour tout f differentiable sur U (comme ej te l'ai demontre precedement)

[zaidoun]

Donc la réponse est oui c'est à dire U est connexe.
Mais je n'ai pas bien saisi votre exemple.
Je sais que Df(x)=0 n'implique pas que f est constante si U n'est pas connexe, on peut la voir sur R, c'est plus simple: si U n'est pas un intervalle c'est faux.