Question

[Archytas]

Salut, je sais que l'image continue d'un ouvert n'est pas forcément un ouvert mais si on prend h un homéomorphisme et U un ouvert est-ce qu'on peut toujours trouver un ouvert inclu dans h(U) ? Pas forcément que h(U) soit un ouvert mais il m'en faut un dedans !

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Tu affirmes que est un homéomorphisme, alors forcément : est un ouvert. :happy3:
Puisque h(U) est un ouvert, alors il est voisinage de chacun de ses points, donc : : un ouvert tel que : .
Cordialement.

[Doraki]

h est un homéomorphisme ça veut dire que h est bijective et que sa réciproque h-1 est continue, donc que h-1-1(U) = h(U) est ouvert.

Avoir un homéomorphisme en topologie c'est comme avoir un isomorphisme de groupes en algèbre, ça dit que la seule différence entre tes deux espaces ben c'est le nom que tu as donné aux points.

[Archytas]

Ah oui génial ! Merci à vous deux ! Autre question : ça doit se démontrer facilement mais j'ai une grosse flemme d'y passer du temps : on a bien et de manière plus générale ?

[Archytas]

Par contre quand vous écrivez h-1(U) c'est au sens de la pré-image j'imagine ? Moi dans ce que je demande c'est au sens de l'image de U par h-1 c'est pas exactement pareil il me semble !

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Essaye de jeter un oeil ici : http://math.stackexchange.com/questions/239783/maps-question-about-fa-cup-b-fa-cup-fb-and-fa-cap-b-fa-cap-f
Donc, puisque est un homomorphisme, alors est injective, donc : .

Cordialement. :happy3:

[Archytas]

D'accord merci et concernant les pré-images ça ne marche donc pas votre méthode ? Parce que je suis d'accord que h-1(U) est ouvert si U est ouvert mais h-1(U) au sens de la pré image de U par h et pas au sens de l'image par U de h-1 ? A moins l'image par h-1 de U et la préimage soient deux objets identiques quand h est bijective ?

[barbu23]

... A moins l'image par h-1 de U et la préimage soient deux objets identiques ... ?

Oui, c'est ça. :happy3:

[Archytas]

Génial !!!!! Merci beaucoup !! Je suis rouillé il serait tant que je me dérouille avant les oraux :D ! Merci encore !

[Doraki]

et de manière plus générale ?

ça par contre c'est faux dès que f n'est pas injective.

[Archytas]

ça par contre c'est faux dès que f n'est pas injective.

D'acc merci beaucoup, je pensais que c'était faux pour l'union et vrai pour l'intersection mais c'est le contraire d'après le lien de Barbu !

[Archytas]

Je voudrais montrer une dernière chose, on m'a dit que c'était assez facile à montrer cependant je bloque quand même !
Si f de A dans A et g de B dans B sont topologiquement conjuguées i.e. avec h un homéomorphisme de A dans B et f chaotique alors g est aussi chaotique. J'ai déjà montré la densité de Per(g) (les points périodiques de g) dans B. Et ce qui précède montre la transitivité topologique de g si on a celle de f. Par contre je bloque sur la sensibilité aux conditions initiales. Je rappelle la définition de f sensible aux C.I. :

Et sous ses hypothèses sur f plus la conjugaison topologique je voudrais montrer que g est aussi sensible aux conditions initiales. Quelqu'un peut m'aider ?

[Doraki]

Ben le seul problème c'est que c'est une propriété des espace métriques et que rien ne t'assure que h interagit correctement avec les distances.

Si h et h-1 sont uniformément continues ça marche mais sinon y'a ptetre des contre-exemples.

[Archytas]

Merde. ça me fout dans la merde... tant pis. Enfin d'après ce que tu me dis heine me rattrape un peu les pots cassés.

[Ben314]

Salut,
Ton A (et donc ton B), ils seraient pas compacts par hasard ?
Si oui, un "rappel" : toute fonction continue sur un espace métrique compact est uniformément continue.

[Archytas]

Salut,
Ton A (et donc ton B), ils seraient pas compacts par hasard ?
Si oui, un "rappel" : toute fonction continue sur un espace métrique compact est uniformément continue.

Oui c'est bien Heine. C'était pour mon tipe. Le problème c'est qu'on m'avait dit que c'était vrai dans un cadre plus large c'est à dire sans hypothèse d'uniforme continuité. Donc ça ça l'a fout mal mais comme j'utilise cette propriété sur un fermé borné de R j'aurais pu me rattraper pour sauver les meubles. De toute façon c'est finit, je devais présenter mon TIPE ce matin, je verrais ça plus tard j'ai toute la vie devant moi maintenant :ptdr: !