Question sur une fonction

[BelzeButt]

Effectivement, le (1/2^n) n'a rien à faire là ^^'

[Lostounet]

Effectivement, le (1/2^n) n'a rien à faire là ^^'

Donc maintenant voici un récapitulatif de ce qu'on a:
On sait que g(x)=f(x)/x et que g tend vers f'(0) quand x tend vers 0.

On sait aussi que pour tout entier naturel n, g(x)=g(x/2^n).
La clé maintenant consiste à se dire que si n tend vers l'infini, x/2^n va tendre vers 0.
Ce qui veut dire que g(x/2^n) va tendre vers f'(0).

Mais g(x)=g(x/2^n) donc en faisant tendre n vers l'infini dans les deux membres de l'égalité on va avoir g(x)=f'(0) également.

Donc f(x)/x=f'(0) donc...?

[BelzeButt]

Effectivement, le (1/2^n) n'a rien à faire là ^^'

Donc maintenant voici un récapitulatif de ce qu'on a:
On sait que g(x)=f(x)/x et que g tend vers f'(0) quand x tend vers 0.

On sait aussi que pour tout entier naturel n, g(x)=g(x/2^n).
La clé maintenant consiste à se dire que si n tend vers l'infini, x/2^n va tendre vers 0.
Ce qui veut dire que g(x/2^n) va tendre vers f'(0).

Mais g(x)=g(x/2^n) donc en faisant tendre n vers l'infini dans les deux membres de l'égalité on va avoir g(x)=f'(0) également.

Donc f(x)/x=f'(0) donc...?

f(x)/x est nulle

[infernaleur]

Salut, je me permet de remplacer Lostounet (car il me semble qu'il n'est plus la)
Déjà non f(x)/x n'est pas nulle sinon cela voudrait dire que f est la fonction nulle ce qui est faux.
Il t'as dit que f(x)/x=f'(0)
Donc que vaut f(x) ?

[Lostounet]

C'est f(0) qui vaut 0 et pas f'(0)

[BelzeButt]

Salut, je me permet de remplacer Lostounet (car il me semble qu'il n'est plus la)
Déjà non f(x)/x n'est pas nulle sinon cela voudrait dire que f est la fonction nulle ce qui est faux.
Il t'as dit que f(x)/x=f'(0)
Donc que vaut f(x) ?

C'est f(0) qui vaut 0 et pas f'(0)

Donc maintenant voici un récapitulatif de ce qu'on a:
On sait que g(x)=f(x)/x et que g tend vers f'(0) quand x tend vers 0.

On sait aussi que pour tout entier naturel n, g(x)=g(x/2^n).
Ce qui veut dire que g(x/2^n) va tendre vers f'(0).

Mais g(x)=g(x/2^n) donc en faisant tendre n vers l'infini dans les deux membres de l'égalité on va avoir g(x)=f'(0) également.

Je suis pas sur de ma réponse.

g(x/2^n)= f(0)
f(x)/x = f'(0) = g(x/2^n)
=>f(x)/x = g(x/2^n)
=> f(x)=g(x*2^n)

[Lostounet]

Salut, je me permet de remplacer Lostounet (car il me semble qu'il n'est plus la)
Déjà non f(x)/x n'est pas nulle sinon cela voudrait dire que f est la fonction nulle ce qui est faux.
Il t'as dit que f(x)/x=f'(0)
Donc que vaut f(x) ?

C'est f(0) qui vaut 0 et pas f'(0)

Donc maintenant voici un récapitulatif de ce qu'on a:
On sait que g(x)=f(x)/x et que g tend vers f'(0) quand x tend vers 0.

On sait aussi que pour tout entier naturel n, g(x)=g(x/2^n).
Ce qui veut dire que g(x/2^n) va tendre vers f'(0).

Mais g(x)=g(x/2^n) donc en faisant tendre n vers l'infini dans les deux membres de l'égalité on va avoir g(x)=f'(0) également.

Je suis pas sur de ma réponse.

g(x/2^n)= f(0)
f(x)/x = f'(0) = g(x/2^n)
=>f(x)/x = g(x/2^n)
=> f(x)=g(x*2^n)

Tu as oublié l'objectif de l'exercice?
On veut aboutir à f(x) = constante*x pour prouver que f est linéaire.
Et on a prouvé que f(x)/x = f'(0) ...

Pourquoi reviens-tu en arrière? On est si près du but.

[BelzeButt]

Je vois pas quelle pourrait-être cette constante '-'

[Lostounet]

Si je te dis que f(x)/x = 5, est-ce que f est linéaire du coup ? En multipliant les deux cotés par x cela donne:

f(x)/x*x = 5x donc f(x) = 5x...

Ici tu as f(x)/x = f'(0) donc f(x) = .... ?

[BelzeButt]

Si je te dis que f(x)/x = 5, est-ce que f est linéaire du coup ? En multipliant les deux cotés par x cela donne:

f(x)/x*x = 5x donc f(x) = 5x...

Ici tu as f(x)/x = f'(0) donc f(x) = .... ?

f(x)=f'(0)x

[Lostounet]

Donc f est linéaire... !

[BelzeButt]

D'accord, mais, je vois pas trop le rapport avec le 2f(x) = f(2x) du début '-'

En tout cas merci beaucoup ton aide ! et d'avoir été aussi patient

[Lostounet]

On a prouvé que si f est une fonction définie sur R vérifiant f(2x) = 2f(x) et que f est en plus dérivable en 0, alors pour tout x, f(x) = f'(0)x qui est donc de la forme f(x) = kx. Cela signifie que f est linéaire.
Tu vas me dire mais que vaut f'(0). Ma réponse: on s'en fout du moment que c'est une quantité qui ne dépend pas de x.

Par contre, si on ne suppose pas que f est dérivable en 0, on devrait pouvoir trouver une fonction f qui vérifie f(2x) = 2f(x) mais qui n'est pas linéaire. En vois-tu une par exemple?

Après il ne faut pas oublier de soigner la rédaction. Je t'ai juste donné les idées.. Par exemple il ne faut pas se contenter de dire que g(x)=f(x)/x
Mais plutot dire que g=f(x)/x pour x non nul et g(0)=f'(0) de sorte que g soit prolongée par continuité ce qui assure que pour toute suite u(n) convergeant vers 0 on aura g(u(n)) qui tend vers g(0). Des petits détails comme la récurrence immédiate de g(x)=g(x/2^n) ou le fait de se fixer x dans R qui soit donné ...