Question de stabilité en algèbre linéaire

[FabienL]

Bonjour,

Pour montrer que un ensemble est stable par une application linéaire a, faut-il simplement l'inclusion [les éléments de a(ensemble)] C [ensemble] ou pas ?

Autrement demandé, je me trouve dans la situation où je dois montrer que Ker(a) et Im(a) sont stables par a' (où a et a' sont telles que A et A' leurs matrices associées sont pseudo-inverse l'une de l'autre). Est-ce que l'inclusion Ker (a'oa) C Ker(a) répond à la question ?

Merci par avance.
FL

[Nightmare]

Salut !

Oui par définition de la stabilité

[Joker62]

Haileau ;)

Pour montrer qu'un ensemble F C E est stable par une application linéaire u : E -> E, tu dois montrer qu'en prenant un élément x dans F, alors l'élément u(x) est toujours dans F.

Prend donc un élément de ker(a).
Il vérifie a(x) = 0.

Tu dois montrer que a(x) € Ker(a) : ie a(a(x)) = 0

[FabienL]

Merci beaucoup !

En fait je cherchais une définition de la stabilité mais il ne me restait que de vague souvenir..bref

Une petite question supplémentaire, concernant toujours la stabilité, ou plutôt une conséquence. Ayant auparavant, Im(a) et Ker(a) en somme directe dans R^n, et d'après le fait que Im(a) et Ker(a) sont stables par b, Im(b) et Ker(b) sont-ils en somme directe dans R^n trivialement? Si oui, pourquoi ?
Autrement, je pense qu'il est possible de le démontrer en reprenant la démo que j'avais faite pour la somme directe de Im(a) et Ker(a) dans R^n.

Merci par avance.
FL

[alavacommejetepousse]

bof


tu prends a = 0 ; ker a et Ima sont en somme directe et stables par b , b qq

et tu prends b tel que Imb et kerb ne sont pas en somme directe