Question: Extremas locaux et globaux.

[Alpeys]

Bonjour à tous,
une question sur les extremas locaux m'embête, ( par ailleurs si quelqu'un pouvait me dire si ma méthode est OK
ça serait sympa merci )
Soit f la fonction définie par: f(x,y) = xy* exp(-0.5*(x²+y²)) .

1/ Déterminer les extremas relatifs.
On résout df/dx = 0 et df/dy = 0 tout en se rendant compte que f(-x,-y) = f(x,y) donc on réduit les cas à étudier.

QUestion 2: ( qui me pose problème ): Démontrer que f(x,y)>0 quand (x,y) > l'infini.
Que signifie: (x,y) tend vers l'infini ? Cette notation ne fait pas pas sens pour moi, noté avec une norme je trouve ça "plus vrai". Et donc je n'arrive pas à résoudre la question.

3/ En déduire l'existence des extremas globaux de f sur R^2. Et je suppose que les locaux sont globaux, mais déjà je ne comprends pas la question précédente.

Merci à ceux qui pourront m'aider à résoudre les questions 2 et 3,
Bien cordialement,
Alpeys.

[Lostounet]

Hello,

Comme toi je suis étudiant. Mais je vais essayer de t'aider:

J'aurais plutôt écrit f(x;y) = f(y;x) ce qui permet de ne dériver qu'une seule fois par rapport à la variable de ton choix.
Ensuite en ce qui concerne la méthode (je crois qu'il vaut mieux que le couple (x;y) en norme tende vers l'infini) il me semble que ce qu'ils te font faire c'est de montrer qu'il existe un compact en dehors duquel |f(x;y)| est bornée par la quantité que l'on veut (elle tend vers 0 lorsque |(x;y)| tend vers l'infini) et qu'à l'intérieur de ce compact, vu qu'elle est continue, elle est bornée et atteint ses bornes...

En tout cas, c'est ce que j'ai fait dans un exo il y a pas longtemps

[Alpeys]

Salut, déjà:
Merci pour la réponse.

simplement toujours un souci: que signifie la notation (x,y) > infini de l'énoncé? ( en "norme? ") et comment le démontrer si c'est ça?

Donc en gros si je résume l'idée: notre fonction est continue sur R^2 et a une limite "finie" à l'infini.
Donc elle est nécessairement bornée et atteint ses bornes.
Donc il existe des extremas globaux
De ça je peux en déduire que les globaux sont locaux?
J'ai pas capté l'histoire du "compact" dans ta réponse ^^

[Lostounet]

Donc en gros si je résume l'idée: notre fonction est continue sur R^2 et a une limite "finie" à l'infini.
Donc elle est nécessairement bornée et atteint ses bornes.

Nooo

f(x) = 1/x tend vers 0 en l'infini et est continue sur son domaine, mais elle est pas bornée sur son domaine!

Il faut se placer sur un compact (par exemple sur R un compact est un truc de la forme [a ; b]). Toute fonction continue sur un segment admet un maximum et un minimum.

Sur R^2, on peut se placer par exemple sur un disque ou un carré de la forme . On peut alors dire que f admet un maximum et un minimum sur ce compact choisi et vu qu'elle est aussi petite que l'on veut en dehors de ce carré ou disque, on peut affirmer que le maximum et minimum sont dans le compact choisi... (à confirmer)

[Alpeys]

Je vois, mais dans ce cas là elle est continue "dans tout l'espace, autrement dit sur R^2.", Par exemple à 1D, le cas qu'on étudie ici serait similaire à une fonction f qu'on étudie sur R avec des limites finies à l'infini, ce qui impliquerait l'existence d'un maximum, minimum global,

mais je vois toujours pas comment faire la question 2^^

[Ben314]

Salut,

...une fonction f qu'on étudie sur R avec des limites finies à l'infini, ce qui impliquerait l'existence d'un maximum, minimum global.

Non, ce n'est pas suffisant. Par exemple la fonction x->1/(x²+1) est continue sur R, admet des limites finies en +oo et -oo mais elle n'a pas de minimum global : sa borne inférieure est 0 et elle n'est pas atteinte.

En fait, si par exemple ta fonction tend vers L en l'infini (de R ou de R², ça ne change rien), pour être sûr qu'elle a un maximum global, il faut avoir montré qu'elle prenait au moins une valeur supérieure (ou égale) à L de façon à montrer que sa borne supérieur n'est pas "atteinte en oo" (et pour démontrer ce fait, on utilise ce que dit Lostounet, à savoir qu'une fonction continue atteint ses bornes sur tout compact)
De même pour être sûr qu'elle a un minimum global, il faut avoir montré qu'elle prenait au moins une valeur inférieure à L.

mais je vois toujours pas comment faire la question 2^^

Dans la 2), le c'est effectivement un abréviation parfois employée pour signifier .
Et ce qu'il faut que tu montre, c'est que :
Et en général, pour se faire, on montre que où est une fonction de dans qui tend vers 0 en +oo.

Rappel : Toutes les normes sur R² étant équivalente, pour ce type de calcul (comme pour tout ce qui est limite dans R²), on peut prendre la norme qu'on veut : ça ne change rien au résultat.

[mathelot]

soit
u est bornée sur R et

[Alpeys]

Ok c'est plus clair je comprends mieux ( je me suis fait un dessin )

mais le calcul de la limite revient à quoi?
Si je prends la norme euclidienne: dans l'exponentielle j'ai -1/2 ll.ll²
et xy en terme de norme s'exprime comment?
Le produit x*y tend vers l'infini? en "norme"?

Donc l'existence dans notre cas d'extrema est conditionnée par:
la limite à l'infini vaut 0 cela implique que dans la mesure où f prend des valeurs positives et négatives, 0 n'est ni le sup ni le inf donc il existe des extremas globaux.
Et de là on en déduit que ce sont les locaux ou ce n'est toujours pas suffisant?

[Ben314]

Si je prends la norme euclidienne: dans l'exponentielle j'ai -1/2 ll.ll² <= OUI
et xy en terme de norme s'exprime comment? Il ne peut pas s'exprimer uniquement en terme de norme
Le produit x*y tend vers l'infini? en "norme"? <= NON : lorsque ||(x,y)||->oo, le produit x*y n'admet pas de limite vu que dans le cas particulier (x,0) où x->oo, le produit reste nul alors que dans le cas particulier (x,x) où x->oo le produit tend vers +oo.
Et le "en norme" ne veut pas dire grand chose vu que le produit x*y, c'est un réel. A la limite, on peut en prendre la valeur absolue (qui est une norme sur R), mais ça ne change rien.

Et de là on en déduit que ce sont les locaux ou ce n'est toujours pas suffisant?

Bien sûr que oui : un extrémum global est évidement un extrémum local.
Donc si tu sait qu'il y a un max. global, c'est forcément le plus grand des différents max. locaux.