Quaternions

par **marie49** » 07 Déc 2007, 21:30

Bonjour a tous!
J'ai un devoir maison sur les quaternions, et je voudrais juste que quelqu'un me corrige mon raisonnement parce que je sais pas si c'est la bonne méthode ou pas...

Voici l'énoncé:

On se donne un polynôme de de degré 2 de la forme . Discuter et résoudre suivant les cas l'équation P(t)=0 où t est un quaternion.

Après calculs je trouve :

(en espérant ne pas m'être trompée :happy2: )

Donc

1er cas :

i.e

Alors

Donc,

et on est ramené à une équation de degré 2 dans

2 solutions pour

:

, et donc

impossible sinon

pas de solution

2è cas :

i.e

pas de solution

donc

avec

Alors, qu'est-ce que vous en pensez? On vient juste de commencer à parler des quaternions en cours donc je suis pas encore très à l'aise sur le sujet.
Merci

par **yos** » 07 Déc 2007, 23:03

Bonsoir.
La méthode me semble bien. J'ai pas tout examiné en détail mais je trouve bizarre que dans certains cas tu n'aies pas de solution. En effet, P(x) possède des racines dans C donc aussi dans H je pense.

par **marie49** » 08 Déc 2007, 11:34

Je comprend pas pourquoi si il a des racines dans

il en a forcément dans

.
Si on prend par exemple

on a pas la même chose dans

puisque

vu que I ne commute pas avec x...
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer? Merci

par **Lierre Aeripz** » 08 Déc 2007, 11:42

C'est vrai que dans le cas général, la multiplication n'est pas commutative. Cependant,

est une sous corps commutatif de

. Donc quand tu regarde les valeurs d'un polynôme complexe en des complexe, tu calcule comme dans les complexes (avec la commutativité), même si formellement, tes éléments sont dans

.

Dit (peut-être) un peu plus clairement, il existe

tel que

. (Prendre, par exemple, h = J.) Mais pour tout

, on vérifie

.

par **marie49** » 08 Déc 2007, 11:48

Je comprend ce que tu veux dire... Mais comment je peux faire dans mon raisonnement par exemple dans le cas où

quand

je cherche bien

? Donc je regarde pas les solutions complexes...
Je comprend pas comment faut que je fasse en fait! :cry:

par **yos** » 08 Déc 2007, 12:46

x²+1 possède au moins 6 racines dans H non? Remplace x par i,j,k ou leurs opposés.

Ah non je dis des bétises. Leur carré est 1.

par **yos** » 08 Déc 2007, 12:58

Mais si c'est -1!!! J'ai tout oublié et en plus Tauvel raconte n'importe quoi. Donc c'est bien ça : x²+1=0 possède au moins six racines.

par **tize** » 08 Déc 2007, 13:39

Bonjour,
ce que tu as fait jusqu'ici Marie49 me parait bien, dans le premier cas, le fait que tu n'aies pas de solution

avec

ne veut pas dire qu'il n'y a pas de solution du tout, cela veut simplement dire que les solutions pour

existent mais elles sont alors de la forme

avec

par **ThSQ** » 08 Déc 2007, 13:40

Marie, commence par résoudre

dans

!

Dans le cas général (i.e

) il y a 6 solutions conjuguées qui correspondent aux six rotations suivant les 3 axes.

par **yos** » 08 Déc 2007, 15:39

Oui, c'est ce que dit Tize : il y a bien des solutions quels que soient b et c. De plus ta méthode du premier post est bonne. Désolé d'avoir introduit un doute.

par **marie49** » 09 Déc 2007, 10:58

Merci à tous pour votre aide!
Je commence à comprendre un peu mieux les quaternions

Quaternions

Quaternions

Qui est en ligne