Quaternions

par **denver** » 11 Juil 2006, 08:43

J'ai deux problème concernant les quaternions que je n'arrive pas à résoudre et j'ai un examen demain dessus donc si quelqu'un arrive à trouver la solution et à me l'expliquer se serait super.

Le premier:

On a q = a+bj un quaternion. Calculer qiq* ou q* est le conjugué de q?
Mon prof trouve aa*i + bja*i - aijb* - bjijb qu'il simplifie ensuite en (a^2 - b^2 + 2abj) avec a et b en valeur absolue et moi je n'arrive pas à trouver le même résultat.

Le deuxième:

Si v et w appartenant à E tels que ¦v¦=¦w¦(¦ =signe de la valeur absolue). Montrer qu'il existe une isométrie directe de E fixant l'origine (en fait une rotation) qui envoie v sur w. Si v est différent de -w, cette isométrie est donnée par la formule: w= kvk^-1, ou :

k= 1 +2(v x w) ou x signifie le produit vectoriel.
¦w+v¦^2

Et si v=-w(différent de 0)?

Et il ajoute la remarque:

La description suivante est plus simple mais en réalité équivalente.

k= 1 - wv
¦wv¦

On se ramène immédiatement au cas ou ¦v¦=¦w¦=1, d'ou k= 1 -wv et la démonstration est évidente.

Merci

par **nox** » 11 Juil 2006, 09:16

a* ?

a est complexe?

moi j'écrivais les quaternions H = a + bi + cj + dk
avec a,b,c,d réels

a ca représente quoi ici alors? :hein:
c'est pas le scalaire?

par **nox** » 11 Juil 2006, 09:22

Je ne comprends pas la notation a*...a est réel non?
b aussi...puisque après tu parles de valeur absolue.

H = a + bi + cj + dk non?

par **denver** » 11 Juil 2006, 10:05

Non a et b sont complexe. On peut écrire un quaternions q comme q=x + yi + vj + wk ou :

Si on pose

a = x + yi et b=v + wi

alors q = a + bj = x + yi + (v+wi)j
= x + yi + vj + wij et puisque ij=k on a bien
q= x + yi +vj +wk

Par conséquent q* qui est le conjugué de q s'écrit comme q*=a*-bj.

par **denver** » 11 Juil 2006, 10:10

En faite, je note ¦a¦ le module de a le réel qui est égale à la racine de x^2+y^2.

donc ¦q¦^2 = ¦a¦^2 + ^¦b¦^2 = x^2+y^2+v^2+w^2

par **nox** » 11 Juil 2006, 10:13

denver a écrit:q*=a*-bj.

a*-b*j alors non?

par **denver** » 11 Juil 2006, 10:16

Non par définition, le conjugué d'un quaternion q*=a*-bj = Re(q)-Pu(q) ou Re signifie la partie réel et Pu la partie pure du quaternion

par **nox** » 11 Juil 2006, 10:18

oui dsl...erreur de calcul.

j'ai pas l'habitude de manipuler cette notation ^^

par **denver** » 11 Juil 2006, 10:32

En faite on doit trouver (a^2 - b^2 + 2abj)i et non (a^2 - b^2 + 2abj)

Moi je trouve
(a+bj)i(a*-bj) = (ai + bji)(a*-bj) = (ai - bk)(a* - bj)
= (aia* - aibj - bka* + bkbj)
= aai - ab*ij - bak + bb*kj
= (aa - bb* + (ab* + ba)j)i

(ij = -ji = k, jk= -kj = i, ki = ik = j et ja=a*j)

par **nox** » 11 Juil 2006, 10:34

moi j'ai foncé droit devant et j'ai tout écrit avec ma notation de barbare.

J'ai remplacé a et b quoi ^^

et je trouve bien comme ton prof

edit : oui j'avais vu qu'il manquait un i :p

par **denver** » 11 Juil 2006, 10:50

J'y arrive toujours pas. Si t'arrive à m'expliquer même avec une notation de barbares se serait cool.

par **nox** » 11 Juil 2006, 11:13

voila ce que j'ai :

(x + yi + (v + wi) j ) i (x - yi - (v + wi) j )

= (xi - y - (v + wi ) k ) (x - yi - (v + wi) j )

= x²i - xy -x ( v + wi ) k + xy + y²i + ( v + wi ) k y i - x i ( v + wi ) j + y ( v + wi ) j + ( v + wi ) k ( v + wi ) j

= x²i - xy -x ( v + wi ) k + xy + y²i + ( v + wi ) j y - x ( v + wi ) k + y ( v + wi ) j - ( v² + w² ) i

= (x² + y²) i - 2x ( v + wi ) k + 2y ( v + wi ) j - ( v² + w² ) i

= (x² + y²) i - 2 ( v + wi ) k (x - yi) - ( v² + w² ) i

= (x² + y²) i + 2 (v + wi) (x + yi) i - ( v² + w² ) i

ceci dit je ne vois pas l'erreur chez toi et ca m'embete...dsl...

je regarde encore tout a l heure mais je pense que d'autres personnes plus douées que moi seront plus efficaces pour t'aider

par **denver** » 11 Juil 2006, 11:20

Moi aussi, j'ai beau le refaire, je n'arrive pas à trouver mon erreur avec ma méthode.

Sinon, MERCI BEAUCOUP.

par **nox** » 11 Juil 2006, 11:58

denver a écrit:aai - ab*ij - bak + bb*kj
= (aa - bb* + (ab* + ba)j)i

dans la parenthese ca serait pas -ab*?

on aura déja comme ton prof pour la première étape modulo le aa au lieu de aa*

D'ailleurs on a bien aia* = aa*i et non aai

en fait ton erreur vient que a chaque fois tu dis ca : aia = aa*i et ca c'est faux...ca marche seulement avec j et k.
Comme a et b sont deja définis avec i on ne passe pas au conjugué et l'opération est commutative !!
:id:

et la ca marche

PS : vive les notations barbares :ptdr:

par **denver** » 11 Juil 2006, 12:20

Tout à fait, ca marche. Merci

par **nox** » 11 Juil 2006, 13:40

Pour le 2eme je suppose que quand tu parles de produit vectoriel, c'est le simple produit vectoriel sur la composante vectorielle de v et w ? (qui sont des quaternions non ? )

par **denver** » 11 Juil 2006, 19:20

Pas très bien compris ta question. Pour moi le produit vectoriel c'est définit par (v2w3-v3w2)i + (v3w1-v1w3)j + (v1w2 - v2w1)k.

par **nox** » 11 Juil 2006, 21:43

oki c'était pour être sur :)

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