Quaternions

par **simplet** » 23 Jan 2007, 22:54

Bonsoir,
j'ai une remarque qui me tracasse: en considérant le groupe (peut etre anneau) des quaternions , on a

.

Ce qui m'échauffe le cerveau c'est quand je veux résoudre

..
le polynome

a plus que 2 racines!!??

Peut etre que c'est le soir, mais j'aimerais bien tirer ca au clair avant de passer unz sale nuit :briques:

merci :happy2:

par **fahr451** » 23 Jan 2007, 22:57

est ce gênant ? la non commutativité vient de frapper.

par **simplet** » 23 Jan 2007, 23:04

Si ca me gene???
Pour moi cela voudrait dire que

...alors oui ca me gene.. :mur:

par **fahr451** » 23 Jan 2007, 23:07

tu utilises des résultats de K[X] avec K corps commutatif ce qui n'est pas le cas ici.

par **simplet** » 23 Jan 2007, 23:13

est-ce que tu pourrais me dire le (ou les) résultat(s) auquel tu fais référence ici stp?? Parce que je ne vois pas du tout...

par **fahr451** » 23 Jan 2007, 23:37

ben le plus pénible est
(PQ) (a) n 'est pas égal à P(a)Q(a)

ce qui fait que quand on fait la division euclidienne de P par (X-a) [ possibleen précisant à gauche ou à droite]

on ne peut pas dire P(a) = 0 ssi le reste est nul donc ssi (X-a) divise P

par **simplet** » 23 Jan 2007, 23:42

merci
je vais essayer de voir ca..

par **mathelot** » 24 Jan 2007, 08:53

On peut effectuer l'algorithme de division des polynomes avec des coefficients dans un corps non commutatif, le degré des polynomes servant
de valuation.
on a ensuite:
X^2+1=(X+i)(X-i)=(X+j)(X-j)=(X+k)(X-k).
mais si l'on remplace l'indéterminée X par une valeur, il faut faire attention dans les calculs.

par **fahr451** » 24 Jan 2007, 08:58

la division
A = QB+ R est possible mais l'évaluation du produit QB en a ne donne pas a priori Q(a)B(a)

par **mathelot** » 24 Jan 2007, 09:14

je détaille sur un exemple le post précédent:

d'après la définition de la multiplication de deux polynomes
Si

est un quaternion:

l'application qui à au polynome

de

associe sa fonction polynomiale

de

dans

n'est plus un morphisme d'anneaux.

par **fahr451** » 24 Jan 2007, 09:24

je crois ( je suis sûr même)que j'ai dit une bêtise

dans le cas particulier où B = X-a

la division euclidienne donne P = Q(X-a) + R avec R constant

et on a bien [Q(X-a) ](a) = 0 [bien que AB (a) différent de A(a)B(a) en général ; ça marche ici car les coeff de X-a sont 1 et -a ]

donc a racine de P ssi P = Q(X-a)

mais ensuite le problème vient pour une autre racine b de P

[Q(X-a) ] (b) n 'est pas égal à Q(b)(b-a) donc on ne pas refactoriser Q

même si P s 'annule en b

ce qui veut dire que si a1,a2 sont deux racines disctinctes de P on peut écrire

P = Q1(X-a1) = Q2(X-a2) et pas mieux

par **fahr451** » 24 Jan 2007, 10:05

j'ai dit une bêtise

la division de P par X-a donne

P = Q(X-a) + R avec R constant et

Q(X-a) évalué en a donne bien 0 car les coeff de X-a sont 1 et -a qui commutent avec a

donc si a est racine de P on a R = 0 et donc

P = Q(X-a)

pour b une autre racine de P on aura P(b) = 0

mais Q(X-a) évalué en b n 'est pas Q(b) (b-a) donc on ne peut pas affirmer que Q s 'annule en b et on ne peut pas refactoriser

on peut écrire

P = Q1(X-a) = Q1(X-b) c'est tout.

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