Puissance nieme d'une matrice

[melba]

Bonjour,
Je sèche sur la fin d'un exercice de matrice... J'apprécierai beaucoup vos lumières pour me débloquer.


On considère la matrice
M=.
et N=M-I.

La première question, qui se résout aisément, propose de calculer . Comme N est nilpotente, avec le binôme de Newton ça marche tout seul. On doit ensuite calculer puis pour n entier relatif, ce qui ne pose pas plus de problème.

La question qui m'embête est la suivante:
Soit A=, calculer .

Comme la question est présentée comme une suite de la première, j'ai essayé de trouver des liens entre M et A ou A et N... sinon j'ai essayé de reprendre la technique (trouver une décomposition de A sous la forme de k*I plus une nilpotente), mais je sèche...

Toute piste serait bienvenue!

(j'aurais accès à internet en pointillé dans les jours qui viennent, ne vous vexez pas si je ne vous réponds pas immédiatement, je suivrai la discussion!)

Merci pour votre aide!

[nuage]

Salut,
une première méthode possible :
diagonaliser A

une deuxième, plus inspiré de ce qui précède :

[fatal_error]

Salut,

si on pose

et
,
on a
et

donc P et Q ne commutent pas pour appliquer le binome de newton non?

[Joker62]

Un polnymôme caractéristique scindé à racine simple
Pourquoi se priver de diagonaliser ?

[melba]

Effectivement, je n'avais pas pensé à la diagonalisation, j'essayais de trouver un lien avec la première question..

Merci pour cette réponse!

Si quelqu'un trouve un lien, je suis preneuse; je me demande toujours pourquoi ces questions se suivent. Mais il n'y a peut être aucun rapport!

[Joker62]

Bé au départ je pensais que la matrice du départ était la forme de Jordan de la matrice A mais bon, on voit bien que les valeurs propres de A sont 1, 2 et 3 donc c'est clairement pas possible.

A croire que l'exo est mal fait :o

[Maxmau]

Bj
1/ (M-I)^3 = 0
Cherche le reste (pas la peine de chercher le quotient) de la division euclidienne de X^n par (X-1)^3 en utilisant le fait que 1 est racine triple de (X-1)^3
Enfin remplace X par M. Tu obtiens M^n.
2/ Même méthode. (A-I)(A-2I)(A-3I) = 0. Cherche le reste de la division euclidienne de X^n par (X-1)(X-2)(X-3) puis fais X=A

Rem : cette méthode se généralise

[melba]

Merci pour votre aide!