Propriété PGCD

par **Argentoratum** » 18 Aoû 2008, 10:43

Bonjour, je ne suis plus très sûr d'une propriété sur les PGCD et je n'arrive plus trop à m'en convaincre.
Si l'on a pgcd(a;b) = x, est-ce que pgcd(a^2;b^2)=x^2 ?

Merci de votre aide.

par **Maxmau** » 18 Aoû 2008, 10:53

Argentoratum a écrit:Bonjour, je ne suis plus très sûr d'une propriété sur les PGCD et je n'arrive plus trop à m'en convaincre.
Si l'on a pgcd(a;b) = x, est-ce que pgcd(a^2;b^2)=x^2 ?

Merci de votre aide.

Bonjour
écris a = xu et b = xv

par **Argentoratum** » 18 Aoû 2008, 11:03

OK, merci beaucoup.
J'ai un peu honte tout d'un coup.

par **Argentoratum** » 18 Aoû 2008, 11:20

Une dernière question, comme pgcd(a;b) = x et si a= xu et b = xv alors pgcd(u;v) = 1, mais comme demontrer que pgcd(u^2;v^2)=1 egalement?

par **Argentoratum** » 18 Aoû 2008, 11:39

Il me reste un petit souci :

pgcd(a;b) = x donc il existe u,v N* tels que a = xu et b = xv et pgcd(u;v) = 1.
Donc pgcd(a^2;b^2) = pgcd(x^2 u^2; x^2 v^2) = x^2 pgcd(u^2;v^2).
Sans utiliser la prpriété que l'on est en train de démontrer, comment affirmer que pgcd(u^2;v^2) = 1 avec pgcd(u;v) = 1 ?

par **abcd22** » 18 Aoû 2008, 12:32

Bonjour,
Si p est un nombre premier qui divise u², il divise u, donc si p divise u² et v²...

par **Argentoratum** » 18 Aoû 2008, 13:10

Je suis désolé mais j'ai du mal à voir le rapport.

par **Imod** » 18 Aoû 2008, 13:35

S'il existe un diviseur commun à u² et v² qui soit différent de 1 alors il existe un diviseur premier ...

Imod

par **xyz1975** » 18 Aoû 2008, 13:52

Bonjour,
Ou alors si (a;b)=1 alors (a;b^n)=1 en particulier si n=2. De même et avec le même résultat (a;b²)=1 implique que (a²;b²)=1.

par **Argentoratum** » 19 Aoû 2008, 23:30

Excuse moi de te déranger à nouveau mais peux tu m'expliquer pourquoi si (a;b) = 1 alors (a;b^n)=1 ?

par **xyz1975** » 19 Aoû 2008, 23:34

c'est un résultat connu depuis la terminale, il est tout à fait clair que si a est premier avec b alors il est premier avec n'import quelle puissance naturelle de b, pour le prouver supposer le contraire.

par **magnolia86** » 20 Aoû 2008, 21:48

Argentoratum a écrit:Excuse moi de te déranger à nouveau mais peux tu m'expliquer pourquoi si (a;b) = 1 alors (a;b^n)=1 ?

xyz1975 a écrit:c'est un résultat connu depuis la terminale, il est tout à fait clair que si a est premier avec b alors il est premier avec n'import quelle puissance naturelle de b, pour le prouver supposer le contraire.

Par l'absurde ? non, pas la peine, il y a plus simple :

Si (a;b) = 1 alors il existe u,v tels que 1=ua+vb (Bezout)
Il vient alors 1²=(ua+vb)² = (u²a+2uvb)a + v²b²
ce qui prouve (a;b²)=1

On peut aussi obtenir directement (a²;b²)=1 en partant de (a;b)=1
Pour cela, on refait la même preuve qu'au-dessus mais en élevant au cube
1^3 = (ua+vb)^3 = ...a² + ...b²

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