A propos des relations

par **capitaine nuggets** » 27 Déc 2013, 08:01

Bonjour, j'aurais besoin d'éclaircissement sur les relations.

Soit

un ensemble non vide.

1°) Peut-on trouver une relation d'équivalence sur

telle que l'ensemble quotient ne contienne qu'une seule classe d'équivalence i.e. la classe d'équivalence d'un élément

de

est

?

Une telle relation semble exister en prenant l'exemple suivant :

et

sont entiers (sous-entendus naturels).

J'ai pensé à une sorte de relation "identité" comme pour les applications, mais j'ai du mal à formuler quelque chose.

2°) Peut-on trouver une relation qui soit à la fois "d'équivalence" et "d'ordre".

A part réécrire les conditions d'une relation d'équivalence et d'ordre (réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité), je n'arrive à rien...

Merci d'éclairer ma lanterne.

par **chan79** » 27 Déc 2013, 09:31

Salut
Il y aurait bien ça (équivalence et ordre) mais sans grand intérêt ...

par **Sylviel** » 27 Déc 2013, 09:37

Pour la 1 il faut le comprendre ainsi : une seule classe d'équivalence signifie que ta relation ne différentie personne, donc que pour tout x et tout y tu as x R y...

par **chan79** » 27 Déc 2013, 10:07

Sylviel a écrit:Pour la 1 il faut le comprendre ainsi : une seule classe d'équivalence signifie que ta relation ne différentie personne, donc que pour tout x et tout y tu as x R y...

oui, par exemple dans

xRy si x+y est un entier naturel

par **Sylviel** » 27 Déc 2013, 10:11

oui, par exemple dans \mathbb{N} xRy si x+y est un entier naturel

Ou tout simplement : pour tout x et y, xRy est vrai.

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2013, 17:20

chan79 a écrit:Salut
Il y aurait bien ça (équivalence et ordre) mais sans grand intérêt ...

bonjour
celle là c est juste l'inverse il y a autant de classes que d'éléments les classes sont les singletons
alors qu'on veut une seule classe
par ex
xR y ssi x et y dans E convient

par **Ben314** » 28 Déc 2013, 17:54

capitaine nuggets a écrit:2°) Peut-on trouver une relation qui soit à la fois "d'équivalence" et "d'ordre".

Concernant cette question, il est assez évident qu'une relation réflexive, symétrique ET antisymétrique ne peut être QUE la relation d'égalité.

par **LA solution** » 28 Déc 2013, 18:54

tu definis une relation d equivalence qui permet de mettre les elements de ton ensemble dans un seul paquet
exple xRy <==>x=y

par **capitaine nuggets** » 28 Déc 2013, 20:25

Ok, j'en prend note, merci pour votre participation à tous :+++:

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