Bonsoir,
Voici mon problème :On se place dans
avec
grand. Soit
très petit devant
. Je possède
relations affines de la forme
avec
. Je pose
le sous-espace affine de
défini par ces relations. Je souhaite calculer une projection orthogonale d'un point de
sur cet espace.
On a M de dimension
car déterminé par
relations. (Je suppose que le calcul final de la projection consistera à inverser un système linéaire déterminé par une matrice de taille
dont il faut déterminer les coefficients).
Voici ma solution :Soit
que l'on souhaite projeter sur
.
1- On calcule un point
qui fera office d'origine à translation près. On le fait en se fixant
coordonnées arbitraires, on les injecte dans les relations affines. Les
dernières coordonnées sont alors obtenues en inversant un système linéaire de taille
.
2-On calcule une base de
, la direction de
. Pour cela, on fixe
pour avoir les équations linéaires caractérisant
puis on échelonne le système. On trouve alors naturellement une base de
vecteurs en fixant des coordonnées à
. Notons cette base
.
3- On orthonormalise cette base à l'aide de l'algorithme de Gram-Schmidt.
4- On translate
par
5- On projette
sur
par la formule
 = \sum_{i=1}^{n-r}(X, \vec{e}_i)\vec{e}_i)
. (Avec
)
le produit scalaire).
6- On applique la translation dans l'autre sens pour obtenir le résultat souhaitée :
 = \pi_{\vec{M}}(X) + \vec{OA})
Voici mes questions :Est-ce que mon algorithme est bon ?
Mon but étant de programmer cet algorithme, je souhaite estimer sa complexité et savoir s'il n'y en a pas un meilleur. la valeur de
a-t-elle un impact notable sur la complexité (si je prend plutôt
proche de
) ? Qu'en pensez-vous ?
En vous remerciant,
Rhaegar
