Projection orthogonale et sous-espace vectoriel

[Samoth]

Bonjour tout le monde,

Voici une question sur laquelle je tourne en rond.

Je considère un convexe fermé dans un espace de Hilbert .
Je note la projection orthogonale sur .

Je souhaite montrer que si , considérée comme application de dans , est supposée linéaire, alors est un sous-espace vectoriel de .

Bon, il faut donc montrer que et .
Pour cela, je peux montrer que , ce qui prouvera que .

étant linéaire, on a donc que et donc car et .

Fulgurant, n'est-ce pas ? Bon du coup, je me pose des questions : est-ce que ce que je raconte est vrai ? Passer de dans à dans , qu'est-ce que cela change ?
Est-ce qu'il y a un truc qui cloche ?

Si vous pouviez me guider là-dessus, ça serait super !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu as oublié de montrer que .
Sinon, qu'as tu utilisé ?
- Le fait que si et seulement si .
- L'hypothèse que est linéaire.
Et c'est tout
Qu'est-ce qui te trouble ?

[Samoth]

Bonjour GabuZoMeu,
Pour l'élément neutre, oui, je voulais le montrer à la fin ^^
Ce qui me trouble, c'est pourquoi préciser qu'on considère l'application de H dans H ?

[GaBuZoMeu]

Parce qu'on ne peut parler d'application linéaire qu'entre espaces vectoriels. Or on ne sait pas que X est un (sous-) espace vectoriel, c'est ce qu'on cherche à montrer.

[Samoth]

D'accord, c'est malheureusement un point qui m'avait échappé...