Bonjour à tous,
J'ai un exercice à résoudre et je sèche un peu :
Soit de Banach, inclus et fermé dans et.
Pour les espace suivants, est-il possible de trouver distincts dans tels que ?
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- Pour le premier espace (qui est un espace de Hilbert), pas de souci, en utilisant le théorème de projection orthogonale sur un sous-espace fermé on a l'unicité qui est assurée et donc la réponse est non.
Pour rappel, voici l'énoncé du théorème :
Soit un espace de Hilbert.
Soit un sous-espace vectoriel fermé non vide de .
Alors
Et c'est équivalent à :
- Pour le second espace, c'est là que j'ai un souci.
On a démontré que n'est pas de Hilbert (mais juste de Banach).
Donc, intuitivement je dirai que le théorème ne doit pas fonctionner dans cet espace.
Là où je sèche, c'est pour trouver un contre-exemple
Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci d'avance.