Projection orthogonale sur un sous-espace fermé

[ElliotS]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à résoudre et je sèche un peu :

Soit de Banach, inclus et fermé dans et.
Pour les espace suivants, est-il possible de trouver distincts dans tels que ?

-
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- Pour le premier espace (qui est un espace de Hilbert), pas de souci, en utilisant le théorème de projection orthogonale sur un sous-espace fermé on a l'unicité qui est assurée et donc la réponse est non.
Pour rappel, voici l'énoncé du théorème :
Soit un espace de Hilbert.
Soit un sous-espace vectoriel fermé non vide de .
Alors

Et c'est équivalent à :


- Pour le second espace, c'est là que j'ai un souci.
On a démontré que n'est pas de Hilbert (mais juste de Banach).
Donc, intuitivement je dirai que le théorème ne doit pas fonctionner dans cet espace.
Là où je sèche, c'est pour trouver un contre-exemple…

Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci d'avance.

[Luc]

Bonjour,

je n'ai pas la réponse tout de suite, mais il me semble qu'il faut chercher Y de dimension infinie.

[ElliotS]

Ok, merci pour votre message.
Si vous trouvez, n'hésitez pas à me faire part de votre réponse.

[Luc]

Ok, merci pour votre message.
Si vous trouvez, n'hésitez pas à me faire part de votre réponse.

Il s'agit de trouver un contre-exemple en utilisant le caractère non hilbertien de l'espace de Banach l1(K). J'essaie de chercher pour Y un sous espace fermé n'admettant pas de supplémentaire fermé dans l1(K), ||.||1.

[Ben314]

Salut,
Le fait qu'il n'y ait pas unicité du projeté n'a pas vraiment de rapport avec le fait que l'espace soit de dimension infini, donc pas de rapport avec l'existence (ou la non existence) de supplémentaire fermé : dans la cas hilbertien, ce qui fait que ça marche, c'est l'existence d'un orthogonal qui s'avère être un supplémentaire, mais si l'espace n'est pas muni d'un produit scalaire, il n'y a pas de notion d'orthogonal...

En bref, il suffit de se placer sur (ou ) avec la norme pour avoir un contre exemple :
est évidement un s.e.v. de et, si on prend , on a
qui est atteint pour tout