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[pluie2]

il vaut 1 ? j'ai peur de dire une bêtise...

[Ben314]

Non, c'est bien ça. Le x4 (qui est dans la cas général le xn) vaut xn=sin(n.pi/2n)=sin(pi/2)=1
Donc dans un produit, il "compte pour du beurre"

[pluie2]

ok merci et pour les autres questions pouvez vous m'aider ?

pour résoudre l'équation, je noterai z=e^(ix)

[pluie2]

(z+1)^(2n)=1
2nln(z+1)=0
ln(z+1)=0
(z+1)=1
z=0

?

[Ben314]

non : il n'y a pas de fonction logarithme définie sur C* tout entier à valeur dans C (les seules fonctions log que tu connait à ton niveau sont définies sur R*+)
Normalement, tu as du étudier en cours les solutions de Z^m=1 (m entier naturel, et on cherche Z dans C) qui sont (bizarrement :lol3:) appelées "racines m-ièmes de l'unité".
Il y en a exactement m qui sont :
Z0=? , Z1= ? , ... Z(m-1)=?

P.S. on peut retrouver ce résultat en écrivant que l'on cherche le complexe Z sous forme "polaire", c'est à dire sous la forme

[pluie2]

donc en fait j'écris : ((re^ix)+1)^2n=1 ?

[Ben314]

non : tu écrit (donc ) de façon à ce que ton équation se transforme en

[pluie2]

ok et donc ici pour résoudre ça je dois faire comment ? désolé cette méthode ne me dit rien :/

[Ben314]

Deux complexes (non nuls) sont égaux ssi ils ont même module et même argument à 2kpi prés

[pluie2]

donc du coup ici ils sont égaux...après pour le démontrer par calcul...

[pluie2]

on nous dit aussi qu'il y a une solution nulle z0=0 et on demande de l'écrire sous la forme trigonométrique mais le problème c'est que 0 n'a pas de forme exponentielle ?

et pour les autres solutions je n'arrive pas à trouver

[pluie2]

savez vous comment faire pour trouver les solutions ? car je ne parviens pas à les déterminer. J'aimerais comprendre votre méthode.

[Ben314]

Moi, ce qui me surprend, c'est qu'on te donne ça à faire si tu n'a jamais vu la notion de racines n-ièmes sur C...

Donc je te "balance" la solution (je vois pas quoi faire d'autre...)

Dans l'équation , si on prend , ça ne marche pas.
Donc toute les solutions sont de la forme avec et .
Sachant que le complexe 1 s'écrit sous forme polaire , l'équation devient c'est à dire .
Or on sait (cours) que deux complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argument à 2k.pi prés.
donc l'équation équivaut à ET avec
La seule solution de est (ne pas oublier que est un réel >0 et pas un complexe...)
Par contre il y a une infinité de solutions pour , à savoir (avec ) ce qui n'a vraiment rien de surprenant vu qu'un même complexe admet déjà une infinité d'arguments.
Le problème est de savoir combien il y a de tels dans (par exemple).
Or conduit à : il y a donc 2n solutions corespondant à k=0, k=1, ... , k=2n-1.
En particulier, la solution correspondant à k=0, est avec et (vu que k=0) donc z+1=1, c'est à dire z=0.

[pluie2]

merci beaucoup pour votre explication. On ne me demande pas de faire cet exo, c'est juste moi qui souhaite m'entrainer car j'ai un ds samedi (j'ai pris cet exo sur le net)

Ensuite je dois les mettre sous forme trigonométrique donc :

z=0=0
pour les autres solutions je dois à chaque fois remplacer par k=...? Si k=2n-1, z+1=pe^ix avec p=1 et x=2n-1 ?

[pluie2]

0 ne peut pas s'écrire sous forme trigonométrique ?

[Ben314]

Plus ou moins : on peut toujours écrire (ce qui veut juste dire que le module de 0 est 0), mais le problème c'est que theta est quelconque dans ce cas : 0 n'a pas d'argument bien défini.
Où alors il faudrait dire que tout les réels sont des arguments de 0 mais ça ferait un peu un contre exemple au théorème "deux complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argument à 2kpi prés"

Donc, par prudence, je pense qu'il est préférable de ne parler de forme trigonométrique que pour les complexes non nuls.

[pluie2]

d'accord merci.

et pour les autres solutions je dois à chaque fois remplacer par k=...? Si k=2n-1, z+1=pe^ix avec p=1 et x=2n-1 ? en référence à la troisième question de l'exercice

[Ben314]

On a vu (post précédent) que les solutions était données par avec et où
Donc les solutions, ce sont les toujours avec (et ça donne bien )

[pluie2]

d'accord. Du coup il reste deux questions. Je reviendrai demain sur le forum pour tenter de les faire ou du moins que vous me les expliquiez...

4) -Produit de k=1 à 2n-1 de e^ikpi/n -1 * 1/2^(2n-1)=
le premier produit me fait penser à l'une des lois d'euler mais je ne suis pas certaine.