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[pluie2]

Bonjour,

J'aimerais réussir à faire l'exercice n°1 de cette feuille (prise sur le net) :

je l'ai mise ci-dessous car je n'arrive pas à écrire en latex sur le site :

http://mpsi.tuxfamily.org/fichiers/dm04-1314.pdf

Je bloque dès la première question car je ne comprends pas comment le changement de variable donne le nouveau k. J'avais trouvé un p=2n-1 et pourquoi ici n+1 ??

Merci de tout bien m'expliquer car j'ai un ds la semaine prochaine :lol3:

[Ben314]

Dans le premier produit, n est fixé et k varie de 1 à n-1 en augmentant de 1 en 1.
Que fait p=2n-k lorsque k varie de 1 à n-1 en augmentant de 1 en 1 ?

[pluie2]

k=p+2n
or k vaut 1 donc p varie de ? à 2n-1

je ne comprends pas comment trouver le n+1. Quand j'ai fait des changements d'indices, je les fais toujours en résolvant une équation...

[Ben314]

Que fait p=2n-k lorsque k varie de 1 à n-1 en augmentant de 1 en 1 ?

Si k=1 alors p=2n-1
Si k=n-1 alors p=2n-(n-1)=n+1
Et, quand k augmente de 1, la quantité p=2n-k diminue de 1
Donc p varie de 2n-1 à n+1 en diminuant de 1 en 1

Comme la multiplication est associative et commutative, on peut faire le produit dans l'ordre qu'on veut et donc prendre p qui varie de n+1 à 2n-1 en augmentant de 1 en 1

[pluie2]

ok...je comprends un peu mieux dit comme ça

ensuite je dois en déduire que Rn=Qn² il n'y a que l'indice qui change rien d'autre...

[pluie2]

avez vous compris pour la suite ?

[Ben314]

Si tu fait Qn(avec la déf. de départ) multiplié par Qn(avec la valeur qu'on vient de trouver au 1)a)), ça te fait quoi ?

[pluie2]

faut il multiplier les indices entre eux ? je ne vois pas comment procéder...

[Ben314]

Rappel : (avec p et q entiers et ), c'est juste un "raccourci d'écriture" pour

Donc par exemple, si p,q,r sont des entiers tels que alors ça vaut ???
(et ne cherche pas un "théorème" pour ça : il suffit de comprendre ce que veut dire ce fameux symbole Pi pour avoir la réponse)

[pluie2]

ça vaut : xp*x(p+1)*...*xq * x(q+1)*...*xr

pour mettre ceci sous un produit unique par contre...

[Ben314]

Tu as tout les termes d'indice p à q puis tout ceux d'indice q+1 à r donc au total, tout ceux d'indice p à r :


Dans ton exo, si tu prend la première expression de Qn (celle de l'énoncé) et que tu multiplie par la deuxième expression de Qn (celle trouvée au 1)a)), c'est effectivement les même "type de termes" que l'on multiplie mais pas les même indices.
Si tu regarde les DEUX suites d'indices, ça fait quoi au total ?

[pluie2]

k=1 et r=2n+1 d'où le résultat souhaité.

[Ben314]

k=1 et r=2n+1 d'où le résultat souhaité.

pas tout à fait : k va de 1 à 2n-1 (et pas 2n+1) mais il manque le cas où k=n qui n'est dans aucun des deux produit (le premier s'arrête à n-1 et le deuxième commence à n+1) donc il doit y avoir une "astuce"...

[Ben314]

[pluie2]

donc j'ajoute à la somme obtenue la même somme mais de k=n à n+1 ? je ne suis pas sure j'ai du mal à bien comprendre

[Ben314]

Comme j'ai la flemme de recopier les sinus à chaque fois, je vais noter pour .
La première expression de Qn (énoncé) est
La deuxième (du 1)a)) est
Et on veut trouver

Si tu voit toujours pas, ecrit SANS POINT DE SUSPENSIONS les 3 expressions dans le cas où n=4 par exemple.

[pluie2]

n=4 :

Q4= x1*x2*x3
Q4=x2*x4*x7
R4=x1*x2*x3*x7 ?

[Ben314]

si n=4 :

Q4=x1*x2*x3 <- O.K. (produit pour les indices de 1 à n-1=3)
Q4=x5*x6*x7 (produit pour les indices de n+1=5 à 2n-1=7)
R4=x1*x2*x3*x4*x5*x6*x7 (produit pour les indices de 1 à 2n-1=7)

[pluie2]

d'accord...

Q4*Q4= R4

[Ben314]

d'accord...

Q4*Q4*x4= R4

le x4 n'est ni dans le "premier" Q4, ni dans le "2em"
sauf que, si on revient à la déf. des xk avec des sinus, x4 il vaut...