Produit d'irreductibles

[Mulan]

Bonjour,

Merci de m'aider,

1) Montrer que A = { P dans Q[X], P'(0)=0 } est un sous anneau de Q[X].
2)Montrer que X², X^3 sont irréductibles dans A et en déduire que X^6 possède deux decompositions distinctes en produit d'irréductibles dans A.

3) Montrer que tout élément de A s'écrit comme produit de polynômes irreductibles dans A.

4) A est il principal ?

Alors

1) J'ai réussi

2) Je bloque car pour moi X² peut s'écrire X * X.

Merci

[Maxmau]

Bj
Si P(X)=X P'(0)=1

[Mulan]

ah Oui ok,

Mais du coup, il suffit de dire que
X² peut s'ecrire que sous la forme X X or X' = 1 donc n'appartient pas à A
X^3 peut s'écrire X * X * X or X' =1 n'appartient pas à A.

Donc X^6 = X^3 * X² mais pour la seconde je ne vois

[Maxmau]

ah Oui ok,

Mais du coup, il suffit de dire que
X² peut s'ecrire que sous la forme X X or X' = 1 donc n'appartient pas à A
X^3 peut s'écrire X * X * X or X' =1 n'appartient pas à A.

Donc X^6 = X^3 * X² mais pour la seconde je ne vois

X^6 = X^3 * X^3 =X² X² X²

[Mulan]

ah oui c'est evident désolée

3) Je pensais à une récurrence sur le degré.
Mais je ne sais pas trop.

[Maxmau]

ah oui c'est evident désolée

3) Je pensais à une récurrence sur le degré.
Mais je ne sais pas trop.

Ok pour montrer que tout élément non inversible admet un facteur irréductible
et ensuite c'est facile

[Mulan]

D'accord,

Pour montrer que A est principal j'aimerai montrer que A est un corps c'est a dire que U(A) = A/{0}
Est ce la bonne méthode ?

[Maxmau]

D'accord,

Pour montrer que A est principal j'aimerai montrer que A est un corps c'est a dire que U(A) = A/{0}
Est ce la bonne méthode ?

A est un corps : Ca m'étonnerait quand même

méthodes pour montrer que l'idéal n'est pas principal:
1/ exhiber un idéal non principal
2/ trouver une propriété des anneaux principaux non vérifiée par A

[GagaMaths]

Pour montrer que A est principal j'aimerai montrer que A est un corps c'est a dire que U(A) = A/{0}

ou as-tu vu ça ???!

[Mulan]

Dans mon cours si A est un corps Alors A est un anneau principal

[GagaMaths]

oui d'accord mais tout n'est pas un corps !...

[GagaMaths]

je pense qau'ul faut prendre la definiton de principal

[Mulan]

Ah oui je suis d'accord c'était juste une idée.

méthodes:
1/ exhiber un idéal non principal
2/ trouver une propriété des anneaux principaux non vérifiée par A

Comment peut on exhiber un ideal non principal.

[Maxmau]

Ah oui je suis d'accord c'était juste une idée.

méthodes:
1/ exhiber un idéal non principal
2/ trouver une propriété des anneaux principaux non vérifiée par A

Comment peut on exhiber un ideal non principal.

Par exemple, on peut prendre l'ideal I engendré par 2 polynômes de A et regarder si on peut choisir ces 2 polynômes de sorte que l'idéal ne soit pas principal.
On montrerait ainsi que A n'est pas principal