Produit de deux fonctions "porte"

[petr0]

Bonjour,

Je cherche à appliquer dans le domaine physique deux fois le même filtre sur une fonction f(x). Le filtre est une fonction "porte", cad elle est nulle sur tout le domaine sauf sur un intervalle, où elle est unitaire. La transformée de Fourier de cette fonction est le sinus cardinal. En appliquant deux fois le filtre, j'obtiens le produit de deux fonctions porte de même taille, je suis sûre que c'est un cas d'école car je l'ai appris en analyse des signaux mais je ne m'en souviens plus :triste: . Avec l'aide de google, je suis parvenue à "= produit de convolution de deux fonctions sinc", mais je ne suis pas plus avancée. Mon but étant d'écrire la fonction filtrée deux fois en fonction de la fonction filtrée une seule fois.
En espérant que quelqu'un pourra m'aider,
merci.

[Touriste]

Bonjour,

Je ne saisis pas très bien ta question. Peut-être que la propriété que tu cherches est la suivante : "la transformée de Fourier d'un produit de convolution est le produit des transformées de Fourier". Je réponds peut-être complètement à côté de ton problème auquel cas je suis désolée...

[mln]

erreur, je recommence

[mln]

avc * produit de convolution





C'est une segment entre (-T,0) et (0,T) et un autre entre (0,T) et (T,0)

[petr0]

Tu fais: Pi(x)*Pi(x)*f(x) avc * produit de convolution ?

A mon avis, si c'est ca et si les portes sont sur le meme intervalles et unitaires, c'est comme si tu faisais Pi(x)*f(x) .Mais je peux me tromper

Bonjour et merci de vos réponses,
Je viens de réaliser que je n'ai pas été très claire. Les portes ont une ouverture delta et une valeur 1/delta. Lorsque je filtre ma fonction f(x) (c'est une vitesse, elle peut être positive ou négative) sur un domaine infini (il est discret et volumique mais pour le moment je considère qu'il est continu et linéique):
filtre(f(x))=integrale( pi(x-x')*f(x')dx' ). (* est un produit normal)
Donc si j'applique 2 fois ce filtre, je pense que j'obtiens quelque chose comme ça:
filtre(filtre(f(x)))=integrale( integrale( pi(x''-x')*f(x')*pi(x-x'')dx' )dx'' )
Je pensais comme mln, cad Pi(x)*Pi(x)=Pi(x) mais j'ai un doute vu les décalages x"-x' et x-x". A ce moment-là, ce ne serait pas plutôt un produit de convolution sur x" ? Et si mes souvenirs d'analyse des signaux sont bons, le produit de convolution de deux fonctions portes est une fonction triangle :briques: .

Merci de votre aide.

[petr0]

avc * produit de convolution





C'est une segment entre (-T,0) et (0,T) et un autre entre (0,T) et (T,0)

A quelques minutes près, je vois que tu confirmes que le produit de convolution de deux fonctions porte est bien une fonction triangle. Et en plus tu me donnes la formule mathématique. C'est parfait merci beaucoup :we: . Il ne me reste plus qu'à combiner les deux portes correctement pour avoir les coefficients corrects.

Merci encore.

[mln]

Pour prouver que
Je te conseille de dériver pour arriver à des Dirac et calculer les produits de convolution :





Donc

[petr0]

Je crois que je suis arrivée à quelque chose. Je démarre avec:



Je dérive en suivant ta méthode:



d'où


Sauf que je pense que la dérivée d'une porte de hauteur doit être , non ?
Donc le résultat est

Dans mon cas la porte est une porte périodique mais je pense que le résultat est le même. Un peigne de dirac qui multiplie une porte périodique est une porte périodique décalée.

Encore merci.

[mln]

Je pensais la formule : (f*g)'=f'*g=f*g' connu
ca vient de :
si h = f*g



d'ou le résultat

En dérivant, on n'a pas besoin de passé par la forme intégral de la convolution dans ce cas.
on obtient des dirac et la convolution avec des dirac est très simple.

au fait, pour moi,


tu as une fonction du type
- Si alors pour tout t , f a-périodique, on peut aussi l'écrire (sauf erreur de "calcul")
- Sinon ca se complique je pense.
bon courage