Comment utiliser le produit vectoriel et le produit mixte

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yasminanour
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comment utiliser le produit vectoriel et le produit mixte

par yasminanour » 25 Déc 2014, 15:04

salut svp comment utiliser le produit vectoriel et le produit mixte dans l exercice suivant

l espace est muni d un repère orthonormé direct (O,OI,OJ,OK)
première partie
on considère A(1,00) B(0,3,0) C(-1,3,0) D(2,2,2) E(3,2,2) ,F(2,5,2) et G(1,5,2)
1) montrer que OABCDEFG est un parallélépipède
si possible avec plusieurs méthodes (par les vecteurs ou autres )
2) calculer le volume du parallélépipède OABCDEFG (comment appliquer le produit vectoriel)

2em partie

l espace est muni d un repère orthonormé direct (O,OI,OJ)

on considère les points R(1,1,0) M(1,1,1) N(0,1,1) et L(1,0,1)

montrer que OIRJKLMN est un cube et calculer son volume en utilisant le produit vectoriel et le produit mixte.

merci pour votre aide



Dylaa2n
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par Dylaa2n » 25 Déc 2014, 15:24

yasminanour a écrit:salut svp comment utiliser le produit vectoriel et le produit mixte dans l exercice suivant

l espace est muni d un repère orthonormé direct (O,OI,OJ,OK)
première partie
on considère A(1,00) B(0,3,0) C(-1,3,0) D(2,2,2) E(3,2,2) ,F(2,5,2) et G(1,5,2)
1) montrer que OABCDEFG est un parallélépipède
si possible avec plusieurs méthodes (par les vecteurs ou autres )
2) calculer le volume du parallélépipède OABCDEFG (comment appliquer le produit vectoriel)

2em partie

l espace est muni d un repère orthonormé direct (O,OI,OJ)

on considère les points R(1,1,0) M(1,1,1) N(0,1,1) et L(1,0,1)

montrer que OIRJKLMN est un cube et calculer son volume en utilisant le produit vectoriel et le produit mixte.

merci pour votre aide


Salut,

Pour trouver le volume de ton cube/parallélépipède rectangle, tu as une propriété qui te dit que la norme du produit vectoriel entre deux vecteurs est égale à l'aire du parallélogramme engendré par ces deux vecteurs. Ici ton parallélogramme est particulier puisqu'il s'agit d'un rectangle/carré. Tu peux donc trouver la surface de la base de ton cube/parallélogramme et la multiplier par la hauteur (norme d'un vecteur que tu auras trouvé).

Pour prouver qu'il s'agit bien d'un cube/parallélépipède rectangle, tu sais que pour les deux figures, tu dois avoir des cotés parallèles deux à deux et de même longueur, et pour le cube tous tes vecteurs doivent en plus de cela être de même norme. Tu peux donc utiliser les propriétés des vecteurs pour vérifier qu'il s'agit bien d'un cube/parallélépipède rectangle!

Bon travail :we:

yasminanour
Membre Naturel
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par yasminanour » 25 Déc 2014, 15:46

salut
ce n est pas claire
mais comment utiliser les propriétés des vecteurs pour vérifier qu'il s'agit bien d'un cube/parallélépipède et le produit vectoriel

merci

BiancoAngelo
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par BiancoAngelo » 25 Déc 2014, 16:20

yasminanour a écrit:salut
ce n est pas claire
mais comment utiliser les propriétés des vecteurs pour vérifier qu'il s'agit bien d'un cube/parallélépipède et le produit vectoriel

merci


Si c'est clair... les propriétés des vecteurs, c'est quoi ?

Que la norme d'un vecteur, c'est la longueur du segment ?
Que le produit scalaire est nul s'ils sont orthogonaux dans un R.O.N. ?
+...
+...
+... tout ce qu'a dit Dylann.

Réfléchis un peu quand même.
De plus, quand on prend deux vecteurs orthogonaux, que fait le produit vectoriel de ceux-ci ?

Il faut bien que tu cherches un peu...

yasminanour
Membre Naturel
Messages: 10
Enregistré le: 24 Déc 2014, 14:44

par yasminanour » 25 Déc 2014, 16:25

salut
si possible de me répondre avec une écriture mathématique pas avec des phrases merci bien

BiancoAngelo
Membre Rationnel
Messages: 585
Enregistré le: 13 Déc 2011, 01:06

par BiancoAngelo » 25 Déc 2014, 16:34

yasminanour a écrit:salut
si possible de me répondre avec une écriture mathématique pas avec des phrases merci bien


Euh...


si et sont orthogonaux.


aire du parallélogramme formé par les vecteurs et .

yasminanour
Membre Naturel
Messages: 10
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par yasminanour » 27 Déc 2014, 03:57

merci pour votre réponse
si possible de me vérifier mes réponses

pour montrer que OABCDEFG est un parallélépipède
il suffit de montrer que ces bases sont des parallélogrammes

vecteur OA =vecteur CB (1) et que vecteur DE =vecteur GF

puis on calcul le produit vectoriel (vecteur OA ^ vecteur OC)

pour le volume valeur absolue ((vecteur OA ^ vecteur OC).vect (OD))

merci bien

yasminanour
Membre Naturel
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Enregistré le: 24 Déc 2014, 14:44

produit mixte

par yasminanour » 27 Déc 2014, 20:48

salut
si possible de vérifier ma réponse a l exercice
Correction
1er façon il suffit de montrer que deux de ses bases sont des parallélogrammes
Vecteur AB = vecteur DC Dou ABCD est un parallélogramme (1)
Vecteur EF = vecteur HG Dou ABCD est un parallélogramme (2)
2em façon
Vecteur AB = vecteur DC Dou ABCD est un parallélogramme (1)
Et
Vecteur AD = vecteur EH Dou ADHE est un parallélogramme (2)
et
Vecteur AB = vecteur EF d ou ABFE est un parallélogramme (3)
Des relations( 1)+(2)+(3) OABCDEFG est un parallélépipède

3em façon
Les vecteurs OA , OC ET OC sont non coplanaires car leurs déterminant est non nul donc il engendre le parallélépipède OABCDEFG



Puis on calcul le produit mixte et sa valeur absolue ou bien le déterminant

merci bien amicalement

yasminanour
Membre Naturel
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produit mixte une proposition

par yasminanour » 29 Déc 2014, 01:24

salut
j ai essayé ça
mais y a t il d autres façon svp
L’espace est muni d’un repère orthonormé direct .
On considère les points A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(;)1, 3, 0), D(2, 2, 2), E(3, 2, 2), F(2, 5, 2) et G(1, 5, 2).

1. Montrer que OABCDEFG est un parallélépipède.
Tout dépend de la définition donnée aux élèves :

Est-ce : OABC définissent un plan et DEFG également
Les plans (OABC) et (DEFG) sont parallèles définition d’un prisme
Les droites (OD), (AE), (BF) et (CG) sont parallèles
OABC est un parallélogramme

Est-ce : Les six faces sont des parallélogrammes

ou autre encore ?

2. Calculer le volume du parallélépipède OABCDEFG.

(1, 0, 0) et (;)1, 3, 0) donc d’où
.
Montrer que OIRJKLMN est un cube.
On démontre facilement que OIRJ est un carré ( donc parallélogramme et les vecteurs et sont orthogonaux et de même norme). De même pour KLMN.
. On a donc un parallélépipède.
est normal au plan OIRJ (xOy) donc parallélépipède rectangle.

Enfin, OK = OI. On a donc un cube

merci bien

 

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