Démonstration du produit des déterminants

[acrisa79]

Bonjour,

Est ce que quelqu'un pourrais me donner ou me dire ou je peux trouver la démonstration du produit des déterminants a savoir : det(A)xdet(B) = det(A.B)
Ou A et B sont deux matrices multipliables

Merci d'avance
Elodie

[Ben314]

Bonjour,
Il y as plusieurs preuves possibles dépendant principalement de la définition que tu prend pour le déterminant.
Par exemple, si on définit le déterminant en partant du théorème suivant :
"Si E est un K-e.v. de dim finie, alors il existe (à un facteur multiplicatif prés) une unique forme n-linéaire alternée de E^n dans K"
Alors la preuve est trés courte....

Donne moi la définition que tu as du déterminant et, si je peu, je te proposerait une preuve (ou te donnerais un site ou cette preuve est située).

[acrisa79]

La définition que j'en ai pour moi c'est simplement une formule classique de calcul qui permet develloper le déterminant par rapport au ligne ou au colonne. Y a t'il une démonstration qui utilise cette formule?

Merci Elodie

[Ben314]

Cette définition est la meilleure.... pour calculer des déterminants, et la plus mauvaise.... pour démontrer les propriétés du determinant...

Avec cette définition, avant même de vouloir prouver que det(AB)=det(A)det(B) il faut démontrer que la valeur que l'on trouve ne dépend pas de la façon dont on développe le déterminant.
Je ne sais pas si vous avez admis cette propriété ou si vous l'avez démontré...

Une fois cela démontré (et ce n'est pas évident), on peut montrer que le déterminant est "multilinéaire" c'est à dire que, si une ligne (ou une colonne) s'écrit L=aL1+bL2 (a,b dans R, L1 L2 deux vecteurs lignes) alors le déterminant est égal à 'a' fois le dét avec L1 + 'b' fois le dét avec L2.
La preuve consiste évidement à développer par rapport à cette ligne.

On montre aussi (en dévelopant) que si l'on échange deux lignes (ou colonnes), le déterminant change de signe (on dit qu'il est "alterné")
On en déduit que, s'il contient deux lignes identiques, il est nul puis que, si on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes, cela ne change rien.

Cette dernière propriété montre que si l'on multiplie à droite où à gauche une matrice par une matrice élémentaire (i.e. entièrement nulle sauf la diagonale avec des 1 et UN SEUL terme pas sur la diagonale non nul) cela ne change pas le determinant (car un tel produit consiste à ajouter à une ligne ou colonne un multiple d'une autre)

Partant d'une matrice AB, en faisant des produits à gauche par des matrices élémentaires, on peut changer A en une matrice diagonale (c'est la méthode du pivot de gauss) et en multipliant à droite, on change B en une matrice diagonale. Le tout sans changer le déterminant.
Il reste à montrer le résultat pour les matrices diagonales et... c'est évident.

Je le (re)dit : ta définition n'est pas trés adaptée pour faire des preuves jolies : cela reste un peu du "bricolage"...

[acrisa79]

Oui j'ai compris la démonstration et effectivement c'est un peu du bricolage.
Quelle serais alors la démonstration simple avec sa définition? Mais il faudrais que ça soit le plus "logique" possible et le moins "mathématique" lol je veux dire que j'ai une certaine compréhension logique mais que je n'ai pas forcément toute les bases mathématique, du gene endomorphisme et ce genre de chose je maîtrise pas trop

Merci Elodie

[Ben314]

Pour avoir des démonstrations "simples" et naturelles, il faut commencer (avant de définir les déterminants) par montrer le théorème que je cite plus haut :
"Si est un espace vectoriel de dim finie, alors il existe (à un facteur multiplicatif prés) une unique forme n-linéaire alternée de dans "
La preuve de ce théorème est trés instructive et il apparait dans la preuve une formule exprimant le déterminant d'une matrice, mais la formule est une "énorme" somme indexée sur "l'ensembles des permutation de " et elle fait intervenir la notion de "signature" d'une permutation. Si tu veux, c'est la formule générale qui, dans le cas de la dimension 2 donne le fameux ad-bc. et en dimension 3 la régle de Sarrus (si tu l'a vue).

Je pense qu'a ton niveau, cette "grosse formule" risque plus de t'embrouiller qu'autre chose (et c'est sans doute l'avis de ton prof qui vous a donné une définition plus "visuelle")

Ensuite, avec le théorème ci dessus, on montre "les doigts dans le nez" que det(AB)=det(A).det(B) en remarquant simplement que pour A fixée, la fonction f qui à la matrice M associe f(M)=det(AM) est bilinéaire alternée doc doit être de la forme f(M)=constante x det(M).