Produit de fonction convexe

[pietrau]

Bonjout à tous,

Je travaille sur une fonction de Rn dans R, et je cherche à démontrer qu'elle admet un unique minimum sur son domaine de définition.
La solution pour trouver le minimum est de calculer le gradient et trouver le point qui l'annule, je m'en suis sorti :zen:
Il faut ensuite montrer que ce point est bien un minimum:
- 1ère solution, calcul de la matrice hessienne et dans un cas particulier je montre que la matrice hessienne est définie positive, :hein: , mais le calcul des valeurs propres dans le cas général n'est pas trivial :briques:
- 2nde solution montrer que la fonction est convexe, d'où ma question: un produit de fonctions convexes est il convexe? :hein: , dans ce cas ou puis trouver une démonstration?
et autre question, l'inverse d'une fonction concave est-il convexe? (au même titre que l'opposé d'une fonction concave est convexe)

Toute réponse est la bienvenue, d'avance merci

[fahr451]

bonjour
sur R
x->x et x->x^2 sont convexes et

x->x^3 ne l'est pas

[pietrau]

Merci, on m'a sorti le même contre-exemple (c'est marrant :we: )
Mais en précisant des hypothèses, est ce qu'il n'y a pas un cas dans lequel la relation est vrai?
En fait je suis tombé sur un sujet de prépa PTSI où cette question est posée, du coup je pense que ça doit être possible (bien que les questions en prépa peuvent être vicieuses :marteau: ). En précisant en particulier que les fonctions sont positives est deux fois dérivables (sujet_1 et surtout sujet_2 ). Est ce que le calcul suivant ne le démontre pas
(f.g)''=f''.g + f.g'' + 2.f'.g'
tout ca est positive si f et g sont croissantes et convexes (mais pourquoi positive?) :hein:

[pietrau]

Si quelqu'un pouvait affirmer ou infirmer ce que j'avance, ou me donner une piste, merci

[fahr451]

oui en effet c'est correct

[pietrau]

Merci bien fahr451.
Mais je me pose encore la question de savoir si l'hypothèse de f et g positive n'est pas superflue (je ne vois pas son intérêt dans la démonstration).

[pietrau]

Ben oui, ça saute aux yeux pourtant! :happy2: meci Rain'
Par contre j'ai la même question concernant la composée de deux fonctions...(à suivre)

[pietrau]

En partant sur la même réfléxion que précédemment (en utilisant les dérivées des fonctions), je cherche les conditions pour avoir une composée de fonctions qui serait concave:

:zen: La dérivée seconde de g°f : (g°f)'' = f''.g'°f + f'².g''°f

:id: La fonction composée g°f est convexe (i.e. la dérivée seconde soit positive), si les conditions suivantes sont respectées :

• f'' > 0
• g' > 0
• g'' > 0

:id: La fonction composée g°f est concave (i.e. la dérivée seconde soit négative), si l'un des deux ensembles de conditions suivantes sont respectées :

• f'' > 0
• g' 0
• g'' < 0

Par contre il faut sûrement vérifier que l'image du domaine de définition de f soit inclus dans le domaine de définition de g.
:help: Je passe peut être à coté de certaines subtilités sur les domaines de définitions, mais la reflexion est bonne ? :doh: