Problème de statistique

[zephira]

Bonjour,
Je planche actuellement sur un problème qui semble tout bête mais qui se relève retord.
Soit une compagnie d'assurance qui assure 500 bateau. Chaque bateau subit un sinistre par an avec une probabilité 10^-3, et chaque sinistre coûte au plus 6.10^6 euros à l'assurance. Combien d'encaisse réelle la compagnie doit elle posseder pour etre sur de pouvoir payer les accidents de ses assurés chaque année avec une probabilité de 0.999.

Mon raisonnement :
Bon aisément, Si on appelle X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de sinistre chaque année, on remarque que X suit une loi binomiale de paramètre (500,10^-3). On doit avoir P(Xon a supposé pour simplifier que chaque sinistre coûte 10^6€.
or P(XMais la impossible de calculer cette valeur sans l'aide d'un ordinateur. J'ai essayer de faire apparaître un binome de newton mais je n'y arrive pas. Quelqu'un aurait il la solution? Y'a t'il un théorème qui dit que pour toute variable aléatoire X d'espérance E(X) et de variance Var(X) alors on a 99.9% de chance que n'importe quelle valeur prise par X se trouve dans [E(X)-Var(X); E(X)+Var(X)]?
De l'aide SVP,
merci d'avance

[john32]

Slt,

Pour le theoreme que tu recherches tu peux regarder du cote du Theoreme de la Limite Centrale.

J'avais au depart pense au approximations de loi Binomiale par des lois Normales mais il me semble que pour des proba de "reussite" (puisque dans ton cas il s'agit plutot de survenue d'un probleme) eloignes de 0.5 l'approximation n'est pas tres interessante.

Si tu as des questions n'hesite pas. :we:

[zephira]

j'avais pensé au théorème central limite mais il ne s'applique qu'à une suite infinie de variable aléatoire. Or ma suite est finie puisque cette stupide compagnie d'assurance n'assure que 500 bateaux.. Je continue mes recherches!

[nuage]

Salut,
dans ce cas il semble judicieux d'approcher la loi binomiale par une loi de Poisson.
Sinon le calcul direct ne présente pas de difficulté avec une calculette.
(Je viens de le faire avec une TI80, qui n'est pas un monstre de puissance)

[zephira]

la réponse est evidemment tres facilement approchable a l'aide d'une calculette, seulement le but de l'exercice est de le faire sans calculette..
Par contre, je ne vois pas pourquoi l'approximation par une loi poisson serait plus judicieuse qu'une approximation par une loi normal, vue que le calcul d'erreur est assez grand. Finalement, je pense que la solution réside bien dans le théorème central limite en considérant 500 comme proche de l'infinie. L'erreur serait plus faible.

[nuage]

Salut,

a réponse est evidemment tres facilement approchable a l'aide d'une calculette, seulement le but de l'exercice est de le faire sans calculette..

ça, tu ne l'avais pas dit.

Par contre, je ne vois pas pourquoi l'approximation par une loi Poisson serait plus judicieuse qu'une approximation par une loi normal, vue que le calcul d'erreur est assez grand. Finalement, je pense que la solution réside bien dans le théorème central limite en considérant 500 comme proche de l'infinie. L'erreur serait plus faible.

L'approximation par une loi normale n'est pas valable.
En effet, bien que soit grand, est petit.
Il n'y a que quelques (5 ou 6) valeurs de probabilité non négligeable. L'approximation par une loi continue n'a donc aucun sens.

[MathMoiCa]

Salut,

Le TCL fait intervenir une suite finie de v.a., puis les fait tendre vers l'infini. Peut-être qu'on peut considérer que 500 est représentatif de l'infini ^^'
C'est un peu comme l'approximation d'une loi en une autre...


M.

[nuage]

Le TCL fait intervenir une suite finie de v.a., puis les fait tendre vers l'infini. Peut-être qu'on peut considérer que 500 est représentatif de l'infini ^^'
C'est un peu comme l'approximation d'une loi en une autre...

Dans ce cas on ne peut pas considérer que 500 est proche de l'infini.

C'est un peu comme l'approximation d'une loi en une autre...

C'est pas > c'est exactement ça le problème.

Pour pouvoir approcher une loi binomiale B(n;p) par une loi normale il faut que np soit grand.
Plus précisément on a une loi normale comme limite de cette loi binomiale quand n tend vers l'infini avec p constant.
Si np est constant la limite est une loi de Poisson.