Probleme Serie entiere avec integrale

[Jeff_as_jefferson]

Hello,

J'ai un exercice de Math qui me pose probleme sur les serie entiere. Voila le sujet :

Soit la serie entiere complexe S a(n)z^n (somme des a indice n z puissance n)

avev a(n) = Iexp(-t)t^n dt (exp(-t) t puissance n)

1.
a. sens de var de la suite (a(n))
b. Relation entre a(n) et a(n+1)
c. MQ : n*a(n) 1)

2.
a. Rayon de convergence de la serie
c. Convergence de la serie selon la valeur de TETA avec z = Rexp(iTETA)

* A priori les questions 1a et 1b sont plus que liés non ? On Trouve a(n+1)/a(n) et l'on en deduis si c'est une suite croissance ou décroissante. J'avais pensé a chercher la relation avec les IPP mais ça ne m'a rien donné .

* Je ne sais pas par quoi commencer pour la question 1c

* J'ai reussis la 1d

* Pour la 2a) je pense faire lim (a(n+1)/a(n)).


1. Pouvez-vous m'aider à me débloquer (questions 1a et 1b) ?
2. Pouvez-vous me dire si je pars sur de bonnes pistes pour les autres questions ?

D'avance, merci

[Joker62]

pour la b) il y a en effet une IPP à faire :



Tu pose u = t^(n+1) u' = (n+1)t^n
v' = e^-t v = -e^-t

Donc tu retrouves :
a(n+1) = -e^(-t).t^(n+1) + (n+1)a(n)

Par contre pour la a) j'vois pas :S

[nuage]

pour la b) il y a en effet une IPP à faire :



Tu pose u = t^(n+1) u' = (n+1)t^n
v' = e^-t v = -e^-t

Donc tu retrouves :
a(n+1) = -e^(-t).t^(n+1) + (n+1)a(n)

Par contre pour la a) j'vois pas :S

A mon avis c'est normal.
Je pense qu'il y a des bornes à l'intégrale. En tout cas ça donnerais un sens à la question a) et surtout à la question c).

Si Jeff_as_jefferson veut bien les donner...

[Joker62]

Oui on le voit bien avec la queston c) :D

[Jeff_as_jefferson]

Les bornes de l'integrales sont [0,1]

J'ai réussi la 1a il suffit de remarquer que t^n est décroissant et on intégrale cela. La 1b j'ai reussis avec l'IPP. La 1d aussi. Pour le 2a je trouve un rayon de convergence de 1 ? J'ai fais le quotien de l'inegalite a déduire en b pour a(n) et a(n+1) puis la limite en l'infini (positif).

Par contre la 2b je seche.