Maths spéDéveleppement de série entière et intégrale

[norto]

Bonjour, j'ai un peu de mal avec un exercice d'analyse:
Il faut montrer que intégrale de :t2/(exp(t)-1)dt=somme de 2/n3(avec pour l'intégrale de 0 à +infini et pour la somme pour n allant de 1 a + l'infini).
J'ai penser à mettre la fonction dans l'intégrale sous forme de somme, grâce aux séries entière puis intervertir la et l' en vérifiant les hypothèses.
Mais c'est ici que je bloque je n'arrive pas a développer en série entière la fonction!
Quelqu'un peut-il m'aider svp!

[Nightmare]

Hello,

pour développer t²/(exp(t)-1), on peut écrire par exemple que c'est égal à t²exp(-t)/(1-exp(-t)) et développer avec 1/(X-1) dans le disque unité.

[norto]

Hello,

pour développer t²/(exp(t)-1), on peut écrire par exemple que c'est égal à t²exp(-t)/(1-exp(-t)) et développer avec 1/(X-1) dans le disque unité.

Merci de ta réponse mais je ne voit pas comment faire avec 1/(X-1) dans le disque unité :triste:

[Nightmare]

1/(X-1) = somme des X^n

donc 1/(1-exp(-t))=somme des exp(-nt).

puis t²exp(-t)/(1-exp(-t)) = somme des t²exp(-(n+1)t).

Tu peux alors inverser ta somme et ton intégrale en vérifiant que les hypothèses d'interversion sont vérifiées, et on tombe bien sur le résultat attendu.

[norto]

1/(X-1) = somme des X^n

donc 1/(1-exp(-t))=somme des exp(-nt).

puis t²exp(-t)/(1-exp(-t)) = somme des t²exp(-(n+1)t).

Tu peux alors inverser ta somme et ton intégrale en vérifiant que les hypothèses d'interversion sont vérifiées, et on tombe bien sur le résultat attendu.

ok je viens de comprendre, ce n’était pas si compliqué finalement! :we:
Merci bcp

[norto]

ok je viens de comprendre, ce n’était pas si compliqué finalement! :we:
Merci bcp

Dernière question, comment faire pour monter que la série converge normalement dans les hypothèses??
Merci encore