Approximer une intégrale définie avec une série entière.

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hsazerty2
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Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par hsazerty2 » 14 Mar 2018, 00:51

Bonjour,
je bute sur un petit exo trouvé dans un livre d'analyse :

Utiliser les séries entières pour approximer l'intégrale suivante à 3 décimales :



Le problème est que je n'arrive pas à calculer la série entière du terme :


merci.



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Ben314
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 01:39

Salut,
Il y a sans doute une astuce qui m’échappe vu que je vois pas trop comment procéder....
Le seul truc qui me vient à l'esprit, ça serait un truc comme ça :

puis d'utiliser le développement en série entière de (qui C.V.U. sur )
et de finir avec les intégrales de Wallis.

Mais ça me semble un peu compliqué et la série obtenue converge pas archi. super vite (il faudra 6 ou 7 termes pour avoir un truc de l'ordre de 10^-3)
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par infernaleur » 14 Mar 2018, 02:36

Salut,
on peut calculer facilement le développent en série entière de (c'est de la forme (1-u)^(-1/2) puis binôme etc ...)
En l'appliquant à u=sin²(x)/2 on obtient directement le développement en série entière de ce que tu cherches.
Après reste à voir pour la convergence uniforme pour pouvoir permuter "série et intégrale" et utiliser Wallis.

(même idée que Ben mais il me semble que l'on peut faire plus directement comme ça ?)

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Lostounet
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Lostounet » 14 Mar 2018, 03:01

Salut,

Ce type d'intégrale porte un nom c'est une "intégrale elliptique de première espèce", son développement en série entière fait intervenir les polynômes de Legendre de rang pair; un truc comme (je le mets pour vérification).

, avec le n-ème polynôme de Legendre.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

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Ben314
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 09:38

Lostounet a écrit:, avec le n-ème polynôme de Legendre.
Vu le 1/2^n de la formule, j'aurais tendance à penser que ça, c'est ce qu'on obtient avec la méthode d'infernaleur.
Perso., j'était parti sur la linéarisation du sin^2 du fait que ça donne du racine(1+t/3) donc une série avec du 3^n au dénominateur (plus d'autres trucs) alors que si on procède direct c'est du racine(1+s/2) donc du 2^n au dénominateur et ça converge moins vite donc un peu plus de termes à calculer pour la même précision.

Une autre façon de dire.... exactement la même chose.... c'est que ton truc, c'est de 1/racine(truc) où truc varie entre 1/2 et 1 et que ça semble plus judicieux de prendre le développement en série de x->1/racine(x) au voisinage de 3/4 (=centre de l'intervalle) plutôt qu'au voisinage de 1 (=bord de l'intervalle) : il est plus que probable que le résultat converge plus vite dans le premier cas.

Mais d'un autre coté avec ma méthode, on obtient les intégrales de Walis avec tout les exposants alors qu'en gardant le sin^2, on obtient uniquement celle de rang pair donc une formule "plus harmonieuse" vu que les formules donnant explicitement la valeur des intégrales de Walis dépende de la parité de l'exposant.
Modifié en dernier par Ben314 le 14 Mar 2018, 11:55, modifié 1 fois.
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hsazerty2
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par hsazerty2 » 14 Mar 2018, 10:34

Mmmm, je pense qu'il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, les solutions proposées ici sont un peu trop avancées.

Le livre d'où j'ai tiré l'exo: Schaum's outline of calculus, 6ed.
Chapitre: Taylor et Mclaurin Series.

Merci à tous.

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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 12:08

Tout dépend du contexte :
- SI les intégrales de Walis ont été vues précédemment dans l'ouvrage, alors c'est une application assez basique de la notion de série entière (surtout si tu procède sans même linéariser le sin^2)

- Par contre, s'il faut redémontrer les formules donnant la valeur des intégrales de Walis (sans même une indication concernant la façon de procéder ni même que c'est dans cette direction là qu'il faut aller) alors oui, c'est "chaud de chez chaud".
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par pascal16 » 14 Mar 2018, 13:06

le 1/2, le centrage sur pi/4, me laissent penser qu'un changement de variable t=x-pi/4 symétriserait en partie le problème et on accélère la convergence

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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par hsazerty2 » 14 Mar 2018, 13:18

Les intégrales de Wallis n'ont pas été traités avant !
Donc je suppose que c'est une erreur.

Merci.

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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 13:23

pascal16 a écrit:le 1/2, le centrage sur pi/4, me laissent penser qu'un changement de variable t=x-pi/4 symétriserait en partie le problème et on accélère la convergence
Non, ça ça change rien (en tout cas si on procède comme sus-mentionné) vu que les intégrales (de Walis), on va les calculer de façon exacte et pas approchée.

Sinon, j'ai continué à vaguement y réfléchir (pendant une surveillance...) et je vois pas bien d'autre méthode
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Pseuda
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Pseuda » 14 Mar 2018, 17:07

Bonjour,

N'est-il pas possible de faire un changement de variable sur l'intégrale (t=tan(x) ou tan (x/2)), pour éliminer la fonction trigonométrique, et s'affranchir ainsi des intégrales de Wallis ? (je n'ai pas essayé)

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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 19:05

Pseuda a écrit:N'est-il pas possible de faire un changement de variable sur l'intégrale (t=tan(x) ou tan (x/2)), pour éliminer la fonction trigonométrique, et s'affranchir ainsi des intégrales de Wallis ? (je n'ai pas essayé)
Si, tu peut : regarde sur Wiki (ou ailleurs si tu veut du plus complet) à intégrales elliptiques de première espèce, mais par contre, tout ce que tu obtiendra, c'est de nouveau une intégrale qu'on ne sait pas (*) exprimer à l'aide des fonctions usuelles. La plupart des trucs de calculs formels (maple, wolfram, ...) "connaissent" ces fonctions et te donnent souvent des résultat d'intégrale exprimés à l'aide de fonction elliptiques.

Après, la question pertinente, c'est effectivement de savoir si parmi ces différentes formes (en particulier sans fonction trigo.), il n'y en aurait pas une où l'intégrande se prête "relativement bien" à un développement en série entière. Et ça, en fait j'en sais rien donc ça peut valoir le coup de regarder...

(*) Je ne sais pas si on ait le "prouver".
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Pseuda » 14 Mar 2018, 20:14

Bonsoir,

Sauf erreur, cela a l'air de bien marcher avec le changement . On obtient :

= , qui se prête bien au développement en série entière.

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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 20:47

Oui, mais comme le rayon de C.V. de la série entière t -> 1/sqrt(1+t^4) c'est 1 [le même que celui de t -> 1/sqrt(1+t) ], les coeff. de la série entière tendent pas "super vite" vers 0, [plus précisément, ça peut pas être du o(q^n) avec q<1] et il est même possible qu'ils ne tendent pas vers 0 du tout [à vu de nez, je dirais que c'est du O(1/n), mais c'est à vérifier].
Et le t^(4n) que tu as derrière le coeff, quand tu l'intègre de 0 à 1, ça fait du 1/(4n+1) donc le terme général de la série à sommer, à vue de nez, c'est du O(1/n^2) donc franchement pas efficace pour trouver une approximation à 10^-3 prés.

Essaye de continuer si tu veut, mais j'y crois franchement pas trop (j'imagine mal un exercice où il faut aller calculer la somme partielle d'ordre une cinquantaine pour répondre à la question)

Après, c'est peut-être moi qui me goure concernant l'analyse numérique (vu que j'en ait jamais fait) : pour moi, se servir d'une série entière pour approximer un truc, c'est forcément en restant dans un intervalle strictement contenu dans le rayon de C.V. pour avoir une convergence en O(q^n) avec q<1.
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Pseuda » 14 Mar 2018, 21:15

Cela ne va pas très vite, mais ce n'est pas de l'ordre de 50 termes. A la louche, je dirais 10 termes (à 5 termes, on est à 10^(-2)). Cela se fait bien avec une calculatrice. En effet cela ne converge pas vite, mais le but de l'énoncé est (apparemment) de trouver un développement entière calculable facilement (pour un posteur qui ne connait pas forcément les intégrales de Wallis).

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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 21:59

Sauf erreur ça donne avec
Comme est décroissante, deux termes successifs de la suite des sommes partielles encadrent la limite et si on veut un intervalle de largeur il faut prendre les sommes partielles et (donc sans vouloir pinailler, plus proche de 50 que de 10).

Enfin, bon, de toute façon c'est évidement pas une preuve que c'est pas ça qui est attendu, mais ça serait un peu étonnant, non ?
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Pseuda » 14 Mar 2018, 22:29

Ils ont peut-être un tableur ou un logiciel de calcul, qui fait le calcul facilement. Bon, le but de l'exercice est visiblement de faire un DSE. Le problème avec le changement de variable, c'est qu'on est sur le rayon de convergence =1 (tandis qu'avec la forme initiale, on était au milieu). En fait, je ne comprends même pas pourquoi cela converge. Mais c'est vrai, c'est bizarre comme énoncé. Ou alors, il faudrait essayer un autre changement de variable.

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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Ben314 » 14 Mar 2018, 22:41

Pseuda a écrit:En fait, je ne comprends même pas pourquoi cela converge...
Dans un cas comme celui là, si la série qu'on obtient après intégration des différents termes du D.S.E converge, alors c'est forcément bon (i.e. la somme de la série est forcément égale à l'intégrale).
Ca provient du fait que :
- Si on note f l'intégrande (développable en série entière de rayon de C.V.=1) et F(x)=int( f(t) ; t=0..x) alors pour tout x<1 la série entière C.U.U sur [0,x] dont tu peut permuter l'intégrale et la somme et ça te prouve que F admet aussi un D.S.E. avec un rayon de C.V. au moins égal à 1.
- Si en prenant directement x=1 dans la série de F(x) cette dernière est convergente alors le théorème de C.V. radiale te dit qu'il y a C.V.U sur [0,1] donc donc que la valeur de la somme de la série (en x=1), c'est la limite des F(x) pour x->1, c'est à dire que c'est l'intégrale de départ.

Bref, dit de façon plus mathématique, le théorème de convergence radiale te dit (en particulier) que, si et que la série est simplement convergente (ce qui implique que le rayon de C.V. de la série définissant f est au moins égal à 1 donc que f(t) existe au moins pour t dans l'intervalle semi ouvert [0,1[ ) alors l'intégrale est convergente et est égale à .
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par aviateur » 15 Mar 2018, 00:02

Bonsoir
Soit L l'intégrale on obtient après DSE et intégration termes à termes :
avec
C'est à dire que l'on a une série alternée qui cv effectivement lentement (car )
Pour avoir la précision de il faut calculer

Mais rien n'empêche d'accélérer la cv on a
alors

avec

A savoir que L
et

Pseuda
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Re: Approximer une intégrale définie avec une série entière.

par Pseuda » 15 Mar 2018, 00:17

Ben314 a écrit:- Si en prenant directement x=1 dans la série de F(x) cette dernière est convergente alors le théorème de C.V. radiale te dit qu'il y a C.V.U sur [0,1] donc donc que la valeur de la somme de la série (en x=1), c'est la limite des F(x) pour x->1, c'est à dire que c'est l'intégrale de départ.

Bref, dit de façon plus mathématique, le théorème de convergence radiale te dit (en particulier) que, si et que la série est simplement convergente (ce qui implique que le rayon de C.V. de la série définissant f est au moins égal à 1 donc que f(t) existe au moins pour t dans l'intervalle semi ouvert [0,1[ ) alors l'intégrale est convergente et est égale à .

Pour montrer que la série de f(t) est CVU sur [0,1], comme c'est une série alternée, il faut montrer que , soit que tend vers 0 quand n tend vers l'infini. OK.

EDIT : En fait, on peut se passer de la convergence uniforme de la série de fonctions, on peut utiliser le théorème de Lebesgue d'intégration terme à terme sur ]0,1[ des avec des hypothèses plus faibles. Cela revient au même au niveau de la vérification des hypothèses. J'arrive aussi à n=43 avec le 2 devant la série.

 

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