Intégrale et série entière

[Baptbe]

Bonjour,

je dois calculer pour x appartenant à ]-1,1[ l'intégrale de dt/(1-x*cos(t)) sur [0,;)/2]

J'ai pensé au changement de variable u=tan(t/2) et à utiliser les lois de Bioche mais l'intégrale dépend du paramètre x...
Je remarque aussi le développement en série entière de x^n (d'où le x entre -1 et 1) mais je ne vois pas comment l'exploiter.

[zygomatique]

salut

un peut de sérieux x est un paramètre ....

donc quand on fait un changement de variables on utilise une lettre n'apparaissant pas ....

l'alphabet français compte 26 lettres ....

[Baptbe]

salut

un peut de sérieux x est un paramètre ....

donc quand on fait un changement de variables on utilise une lettre n'apparaissant pas ....

l'alphabet français compte 26 lettres ....

Exact... j'ai complètement bogué !
Mais nous n'avons pas vu les intégrales à paramètres...

Une fois le changement de variable fait je vais avoir un intégrale dépendant de x, donc il faut étudier plusieurs cas ? (dont le cas trivial où x=0 ? )

J'obtiens l'intégrale sur [0,1] de 2du/(1+u²-x(1-u²)).

Si x=0 alors l'intégrale est égale à /2, mais si x;)0 ?

[zygomatique]

oui fort probablement ....

mais bon le cas trivial x = 0 ne pose guère de pb ....

le problème est plutôt lorsque x tend vers 1 (division par 0 lorsque t = 0)

...

[Black Jack]

Poser u = tg(t/2)

cos(t) = (1-u²)/(1+u²)
dt = 2du/(1+u²)

2du/(1+u²) / (1 - x.(1-u²)/(1+u²))

= 2 du / (1 + u² - x.(1-u²))

= 2 du / (1-x + u²(1+x))

Poser u.V(1+x) = V(1-x).w
du = V(1-x)/V(1+x).dw

2 du / (1-x + u²(1+x)) = 2 V(1-x)/V(1+x).dw / (1-x + w²(1-x)) = 2/V(1-x²) * dw / (1 + w²)

S dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²). S dw/(1+w²) = 2/V(1-x²) * arctg(w)

S dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(u.V((1+x)/(1-x)))

S dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(tg(t/2) . V((1+x)/(1-x)))

S(de0àPi/2) dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(tg(Pi/4) . V((1+x)/(1-x)))

S (de0àPi/2) dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(V((1+x)/(1-x)))

:zen:

[Luc]

Je confirme les calculs, reste à justifier que (c'est facile).
Exercice : trouver un équivalent de cette fonction de x, quand x tend vers 1.

[zygomatique]

Poser u = tg(t/2)

cos(t) = (1-u²)/(1+u²)
dt = 2du/(1+u²)

2du/(1+u²) / (1 - x.(1-u²)/(1+u²))

= 2 du / (1 + u² - x.(1-u²))

= 2 du / (1-x + u²(1+x))

Poser u.V(1+x) = V(1-x).w
du = V(1-x)/V(1+x).dw

2 du / (1-x + u²(1+x)) = 2 V(1-x)/V(1+x).dw / (1-x + w²(1-x)) = 2/V(1-x²) * dw / (1 + w²)

S dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²). S dw/(1+w²) = 2/V(1-x²) * arctg(w)

S dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(u.V((1+x)/(1-x)))

S dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(tg(t/2) . V((1+x)/(1-x)))

S(de0àPi/2) dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(tg(Pi/4) . V((1+x)/(1-x)))

S (de0àPi/2) dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(V((1+x)/(1-x)))

:zen:

bravo J-P ...

[Ben314]

S (de0àPi/2) dt/(1-x*cos(t)) = 2/V(1-x²) * arctg(V((1+x)/(1-x)))

Arrivé à ce point, on peut aussi remarquer que ... :look2:

[zygomatique]

Arrivé à ce point, on peut aussi remarquer que ... :look2:

m'est avis que pas beaucoup le remarqueront ....

par contre pour celui qui le sait .... ça va Alzheimer s'éloigne .... :lol3:

[Black Jack]

... ou aussi : Pi - arccos(x)

:zen: