Problème de quaternions

[groupe]

Bonjour, je suis en 2ème année de prépa scientifique. Dans le cadre de nos études, nous avons un travail en groupe à effectuer portant sur des exercices de maths.
Je vous demande donc votre aide pour nous aider à répondre à une question sur laquelle nous sommes bloqués.
C'est un exercice qui porte sur les quaternions et sur les matrices.
Nous avons 4 matrices de M2(C):
E0= 1 0 E1 : i 0 E2 : 0 1 et E3 : 0 i
........ 0 1 ...... 0 -i ....... -1 0 .......... i 0
On a la matrice A, telle que :
A= somme (de k=0 à 3)(akEk) avec ak des coefficients réels
On a le conjugué de A : A'= a0E0 - somme(de k=0 à 3)(akEk)
et on a pu montrer dans des questions précédentes :
_AA'=A'A= somme(de k=0 à 3)(ak²)*E0
et on note N(A)=somme(de k=0 à 3)(ak²)
_ Q=vect(E0,E1,E2,E3) est un corps non commutatif

La question sur laquelle nous bloquons est la suivante :
Montrer que quelles que soient les matrices A et B de Q, on a N(AB)=N(A)N(B)

En essayant plusieurs choses, nous avons trouvé que :
N(A)=det(A)
Néanmoins nous n'arrivons pas à prouver l'égalité.

J'espère que vous pourrez nous donner des indications nous permettant d'avancer dans la résolution de la question.

Merci d'avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,
Si tu as démontré que N(A)=det(A) alors, clairement c'est fini vu que l'un des premiers trucs que l'on apprend concernant les déterminants, c'est justement que det(AB)=det(A).det(B).

Par contre, si tu veut t'amuser à redémontrer cette formule concernant les déterminants, c'est pas super évident et ça va grandement dépendre de la définition que tu prend concernant ce qu'est un déterminant.
Si tu connais la "vraie" définition théorique (sur un e.v. de dim finie n, il existe, à un facteur multiplicatif prés, une unique forme n-linéaire alternée) alors c'est très rapide, mais si tu ne connais qu'une définition calculatoire, ben ça va être... très calculatoire...

Sinon, et si ça t'intéresse, il y a une autre façon de montrer que N(AB)=N(A)N(B) de façon à la rendre très proche de l'égalité similaire dans C, à savoir |zz'|²=|z|²|z'|² : par définition N(AB)=c signifie que (AB)(AB)'=c.E0 or (AB)'=B'A' (résultat connu concernant les transposées) donc (AB)(AB)'=ABB'A'. Or BB'=b.E0 où b=N(B) donc en fait (AB)(AB)'=A(b.E0)A'=b.AA' vu que E0=I4 est la matrice identité. Et comme AA'=a.E0 où a=N(A), c'est que (AB)(AB)'=ab.E0 et donc N(AB)=ab=N(A)N(B).

EDIT : où alors j'ai mal compris et, ce que tu n'arrive pas à démontrer, c'est que N(A)=det(A), mais ça m'étonne un peu vu que c'est un simple (et bète) calcul.