Problème limites

[Dylaa2n]

Bonjour,

J'ai un peu de mal à voir vers où tendent les deux fractions de cette limite :



Il est mis dans le solutionnaire que la première fraction est bornée et que la deuxième tend vers 0, ce qui donne une limite tendant vers 0 au final, mais quelle est la technique pour arriver à cette conclusion?
Imaginons que les exposants ne soient plus , quelle est la technique pour savoir vers quelles valeurs cela tend ou si la fraction est bornée?

Merci d'avance pour l'aide :lol3:

[nodjim]

Je ne sais pas si on a le droit de le faire, mais si (x,y)--->(0,0) on pourrait dire x=y.
Dans ce cas, la 1ère fraction vaudrait rac2/2, et la seconde y^(2/3) *2^(-1/3). Ce qui confirmerait la solution. Attention, je ne sais pas si on peut effectivement avancer x=y, mais ça me semblerait difficile de calculer la limite sans admettre cette égalité.

[Ben314]

Salut,
En général, et surtout si tu as du x²+y² au dénominateur de ta/tes fonction(s), tu pose et avec .
Le fait que (x,y)->(0,0) signifie alors que avec aucun contrôle sur le valeur de

On a donc qui n'admet pas de limite lorsque (vu qu'on a aucun contrôle sur ), mais qui reste effectivement borné (par 1).
Par contre qui tend vers 0 lorsque (majoré en valeur absolu par qui est indépendant de et qui tend vers 0 lorsque )

[Ben314]

Je ne sais pas si on a le droit de le faire, mais si (x,y)--->(0,0) on pourrait dire x=y.
Dans ce cas, la 1ère fraction vaudrait rac2/2, et la seconde y^(2/3) *2^(-1/3). Ce qui confirmerait la solution. Attention, je ne sais pas si on peut effectivement avancer x=y, mais ça me semblerait difficile de calculer la limite sans admettre cette égalité.

Non, on ne peut pas : dire que (x,y) tend vers (0,0), ca veut dire que la distance de (x,y) à (0,0) tend vers 0, mais sans aucun contrôle quand à la position de (x,y) par rapport à (0,0).

Le seul truc a quoi ça peut servir de prendre des "cas particuliers" (style y=x ou bien y=0 ou bien x=y² ou autres) c'est à montrer qu'il n'y a pas de limite : si on trouve deux "cas particulier" donnant des limites différentes, c'est foutu.
Une autre façon de dire... la même chose, c'est que, si en prenant un "cas particulier", tu tombe sur une certaine valeur L comme limite, alors, si la vrai limite existe, elle vaut forcément L.

Prendre y=x dans ce contexte, c'est très exactement la même chose que si tu ne considérait (par exemple) que les n qui sont des puissances de 2 pour calculer la limite lorsque n->oo d'une suite Un : ça ne suffit pas (sauf si tu savait déjà grâce à d'autres arguments que la limite en question existe)

[Dylaa2n]

Salut,
En général, et surtout si tu as du x²+y² au dénominateur de ta/tes fonction(s), tu pose et avec .
Le fait que (x,y)->(0,0) signifie alors que avec aucun contrôle sur le valeur de

On a donc qui n'admet pas de limite lorsque (vu qu'on a aucun contrôle sur ), mais qui reste effectivement borné (par 1).
Par contre qui tend vers 0 lorsque (majoré en valeur absolu par qui est indépendant de et qui tend vers 0 lorsque )

Waw merci beaucoup, ta technique est géniale! :we:

[zygomatique]

salut



:zen:

...

[paquito]

Elevons la première au carré; on obtient donc le premier facteur est bien bornée;

pour la seconde, élevons au cube; on obtient qui tend de façon évidente vers 0.

Si on travaille avec 1/n, et si n>2, on aura une fonction qui tend vers 0!

[Ben314]

Waw merci beaucoup, ta technique est géniale! :we:

D'un autre coté, même sans coordonnées polaire, c'est pas super dur : ce qu'il faut comprendre, c'est qu'il faut tout comparer avec vu que c'est LE truc qui (quasi. par définition) tend vers 0.
Là, ça donnerais :
donc la première fonction est majorée (en valeur absolue) par 1 (et on ne peut pas dire mieux vu qu'il y a égalité dans le cas où y=0)
donc la deuxième fonction est majorée (en valeur absolue) par (et on ne peut pas dire mieux vu qu'il y a égalité dans le cas où x=0).

Comme lorsque la fonction tend bien vers 0 lorsque (x,y)->(0,0).

Si tu regarde bien, c'est quasi la même chose qu'avec les coordonnées polaires.

[Raphy_Z]

Il me semble que la technique des coordonnées polaires ne s'applique que dans le cas où ta limite tend vers 0. Sinon, il faut un peu plus chipoter... Mieux vaut alors utiliser le théorème de l'étau dans les autres cas. :-)

[Dylaa2n]

salut



:zen:

...

Effectivement, je n'avais pas pensé à maximiser l'expression comme tu l'as fait pour voir au final que cela tend bien vers 0... merci :happy2:

[Dylaa2n]

Elevons la première au carré; on obtient donc le premier facteur est bien bornée;

pour la seconde, élevons au cube; on obtient qui tend de façon évidente vers 0.

Si on travaille avec 1/n, et si n>2, on aura une fonction qui tend vers 0!

Merci beaucoup, c'est beaucoup plus évident maintenant :happy2:

[Dylaa2n]

D'un autre coté, même sans coordonnées polaire, c'est pas super dur : ce qu'il faut comprendre, c'est qu'il faut tout comparer avec vu que c'est LE truc qui (quasi. par définition) tend vers 0.
Là, ça donnerais :
donc la première fonction est majorée (en valeur absolue) par 1 (et on ne peut pas dire mieux vu qu'il y a égalité dans le cas où y=0)
donc la deuxième fonction est majorée (en valeur absolue) par (et on ne peut pas dire mieux vu qu'il y a égalité dans le cas où x=0).

Comme lorsque la fonction tend bien vers 0 lorsque (x,y)->(0,0).

Si tu regarde bien, c'est quasi la même chose qu'avec les coordonnées polaires.

Merci bien! :happy2: