Probleme d'inversion de fonction

[EnimA]

Bonjour,

Plutôt que vous poser directement mon problème je vais essayer d'expliquer un peu pourquoi ce probléme.

On modélise un certain phénomène et 3 paramètres apparaissent dans ces paramétres là sont utilisés par le modéle pour abattre une quantité de cette façon: .

Outre le résultat de cet abattement on veut aussi avoir une valeur de l'abattement de chacun des paramètres on a donc cherché tel que c'est un peu la vision abattement synchronisé et abattement successifs sauf qu'ici pour un bien choisi on a le même résultat.
Pour l'égalité précédente est bien respectée.

On peut appliquer le même principe pour ) dans et obtenir le même type de fonction.

On a alors une fonction
tel que


Mon problème est le suivant : Quelle est la réciproque (si elle existe sous certaines conditions...) de f?

Peut être que ça peut inspirer l'un d'entre vous mais le problème est résolu en dimension 2 en remarquant que x-y=a-b puis ça se déroule en résolvant un polynome du second degré.

Merci.

[GaBuZoMeu]

Là, ça va se dérouler en résolvant une équation de degré ... 6. On obtient x comme racine du polynôme suivant :

Code: Tout sélectionner

x^6 + (-5*a + b + c - 7)*x^5 + (4*a^2 - 4*a*b - 4*a*c + 4*b*c + 35*a - 7*b - 7*c + 19)*x^4 + (-28*a^2 + 22*a*b - 2*b^2 + 22*a*c - 12*b*c - 2*c^2 - 92*a + 16*b + 16*c - 24)*x^3 + (73*a^2 - 40*a*b + 3*b^2 - 40*a*c + 10*b*c + 3*c^2 + 108*a - 12*b - 12*c + 12)*x^2 + (-84*a^2 + 24*a*b + 24*a*c - 48*a)*x + 36*a^2

Une fois qu'on a x on récupère y :

Code: Tout sélectionner

[y == -((2*a - 2*c + 7)*x^2 - 2*x^3 - (7*a - b - 3*c + 6)*x + 6*a)/(x^3 - 3*x^2 + 2*x)]

puis z :

Code: Tout sélectionner

[z == -(2*a - 2*c + 3)*x + 2*x^2 - (x^2 - x - 1)*y + 3*a - b + c]

[EnimA]

Là, ça va se dérouler en résolvant une équation de degré ... 6. On obtient x comme racine du polynôme suivant :

Code: Tout sélectionner

x^6 + (-5*a + b + c - 7)*x^5 + (4*a^2 - 4*a*b - 4*a*c + 4*b*c + 35*a - 7*b - 7*c + 19)*x^4 + (-28*a^2 + 22*a*b - 2*b^2 + 22*a*c - 12*b*c - 2*c^2 - 92*a + 16*b + 16*c - 24)*x^3 + (73*a^2 - 40*a*b + 3*b^2 - 40*a*c + 10*b*c + 3*c^2 + 108*a - 12*b - 12*c + 12)*x^2 + (-84*a^2 + 24*a*b + 24*a*c - 48*a)*x + 36*a^2

Une fois qu'on a x on récupère y :

Code: Tout sélectionner

[y == -((2*a - 2*c + 7)*x^2 - 2*x^3 - (7*a - b - 3*c + 6)*x + 6*a)/(x^3 - 3*x^2 + 2*x)]

puis z :

Code: Tout sélectionner

[z == -(2*a - 2*c + 3)*x + 2*x^2 - (x^2 - x - 1)*y + 3*a - b + c]

Merci pour ta réponse, comment as-tu trouvé le premier polynôme stp?

[GaBuZoMeu]

Le polynôme dont x est racine, ainsi que les expressions pour y et z, viennent d'in calcul de base de Groebner pour l'idéal engendré par les équations qui lient a,b,c,x,y,z. De façon précise :

Code: Tout sélectionner

R.<z,y,x,a,b,c>=PolynomialRing(QQ,'z,y,x,a,b,c',order='lex')
Eq1=a-x*(1-(y+z)/2+y*z/3)
Eq2=b-y*(1-(z+x)/2+z*x/3)
Eq3=c-z*(1-(y+x)/2+y*x/3)
I=R.ideal([Eq1,Eq2,Eq3])
G=I.groebner_basis()

et ensuite

Code: Tout sélectionner

G[-1].polynomial(x)

donne

Code: Tout sélectionner

x^6 + (-5*a + b + c - 7)*x^5 + (4*a^2 - 4*a*b - 4*a*c + 4*b*c + 35*a - 7*b - 7*c + 19)*x^4 + (-28*a^2 + 22*a*b - 2*b^2 + 22*a*c - 12*b*c - 2*c^2 - 92*a + 16*b + 16*c - 24)*x^3 + (73*a^2 - 40*a*b + 3*b^2 - 40*a*c + 10*b*c + 3*c^2 + 108*a - 12*b - 12*c + 12)*x^2 + (-84*a^2 + 24*a*b + 24*a*c - 48*a)*x + 36*a^2

puis

Code: Tout sélectionner

G[2].polynomial(y)

donne

Code: Tout sélectionner

(x^3 - 3*x^2 + 2*x)*y - 2*x^3 + 2*x^2*a - 2*x^2*c + 7*x^2 - 7*x*a + x*b + 3*x*c - 6*x + 6*a

et enfin

Code: Tout sélectionner

G[0].polynomial(z)

donne

Code: Tout sélectionner

z + y*x^2 - y*x - 2*x^2 + 2*x*a - 2*x*c - y + 3*x - 3*a + b - c

Tous ces calculs sont faits avec SageMath.