Problème de géométrie

[L.A.]

Bonjour à tous et à toutes,

j'ai plusieurs solutions pour le problème que je vous propose mais elles ne sont pas très pratiques, l'objectif étant de les appliquer à la main à de très nombreuses reprises pour produire ce genre de dessin :

http://ikonal.com/wp-content/uploads/2011/09/photos-fisheye-1967928.jpg

Soient C un cercle de centre F, et A, B deux points distincts à l'intérieur du disque de bord C.
Je cherche à tracer l'unique cercle (ou droite, dans les cas dégénérés) qui passe par A et par B et qui coupe le cercle C en deux points diamétralement opposés (par rapport à C).

Merci pour vos suggestions

[Ben314]

Salut,
Je sais pas si ça peut t'aider vu que pour le moment c'est pas super beau, mais si tu prend un point variable O sur la médiatrice du segment [AB] puis que tu trace le cercle C' de centre O passant par A (et B) alors l'axe radical de C et de C' passe par un point fixe G situé sur la droite (AB) (G est éventuellement "à l'infini")

Pour trouver G, une méthode concon (y'a sans doute mieux), c'est évidement de prendre un point O au pif sur (*), de tracer C', puis les intersection P et Q de C et C' : le point G est évidement l'intersection de (PQ) et de (AB) (à l'infini si les droites sont parallèles).

Une fois G trouvé, tu trace la droite (GF) : elle coupe C en deux points diamétralement opposés qui sont les deux points que tu cherche (i.e. le cercle que tu cherche est celui passant par A,B et ces deux points).
Évidement, si G est "à l'infini", la droite (GF) est à remplacer par la droite passant par F et dirigé par G, c'est à dire la parallèle à (AB) passant par F (sauf erreur, ce cas correspond au cas où les distances FA et FB sont égales, c'est à dire où F est sur )

A la limite, on peut regarder s'il y a une construction plus jolie de G, mais je sais pas si on fera bien plus rapide...

(*) Par exemple un des points d'intersection de avec C histoire d'être sûr que C' coupe C.

[L.A.]

Ouaip, c'est ce que j'envisage sans l'envisager pour le moment, 8 opérations pour tracer l'équivalent d'une droite c'est un peu cher niveau complexité...

Une autre piste théorique : si j'associe à tout point X intérieur à C le point X' tel que X est le barycentre de



(r est le rayon de C) et si j'appelle Z le centre du cercle cherché, alors (FZ) et (A'B') sont perpendiculaires. Et si le diamètre de C perpendiculaire à (FZ) est noté [KL] alors (FZ), (A'B') et la droite passant par K et perpendiculaire à (KZ) sont concourantes. Et pour finir, si X' parcourt la droite (A'B'), alors le barycentre X parcourt l'arc de cercle cherché.

Remarque : si [RS] est le diamètre de C perpendiculaire à (FX) alors les angles X'RX et XRF sont égaux.

En l'écrivant, je me dis qu'il y a peut-être une histoire de foyer-directrice là-dessous, à voir ...

[chan79]

Juste une idée
En reprenant les notations de Ben314, il semble que le lieu du milieu M de P et Q quand O varie sur soit un arc de cercle (qui passe par F) et que ce cercle passe par G.
Si on pouvait obtenir ce cercle, on aurait G. (intersection avec (AB))
Désolé si ça ne mène à rien !

[Ben314]

Perso., j'ai pas trop cherché plus, mais je suis pas sûr de bien comprendre ce que cherche L.A., à savoir s'il veut une construction "purement géométrique" ou bien si, bien plus pragmatiquement, ça lui irait un truc du style :
"On prend un double décimètre, on mesure ça et ça, on calcule ça (programme sur la calculette) et on prend le point sur tel droite/cercle à cette distance là de tel autre"

Bref, est-ce que c'est juste le temps qu'il va mettre à tracer le cercle qui compte, peu importe la méthode, ou bien il faut aussi que la méthode soit plus ou moins "règle + compas" ?

Parce que, si les méthodes calculatoire ça lui va, je pense que le plus rapide, c'est de mesurer les longueurs FA, FB, AB et d'avoir une petit programme à coté qui calcule le rayon du cercle cherché : avec un compas dont l'ouverture correspond à ce rayon on trace les cercles centrés en A et en B et ça donne le centre du cercle cherché.

Après, si c'est pour l'utiliser "pour de vrai" sur des photos, vu la précision des mesures (et de l'ouverture du compas) je me rend pas bien compte de savoir si ça sera plutôt plus précis ou moins précis qu'une construction "règle compas" qui forcément sera aussi approximative (épaisseur des traits, etc...).

[L.A.]

Bah c'est sûr qu'une solution purement géométrique c'est toujours plus joli... je n'avais même pas pensé à un calcul, mais ça peut le faire aussi. Mais on peut aussi envisager plus large : des outils autres que la règle et le compas, des traits de constructions qui peuvent rester pour faciliter les tracés ultérieurs, des choses comme ça...

Pour le travail sur les photos en "fisheye", en fait je ne sais pas quelles sont exactement les lois qui permettent de les construire. Il se trouve que le principe que j'ai donné ici se marie très bien avec ceux que j'utilise globalement pour le dessin en perspective, mais je ne sais pas si c'est le même. Du coup les aspects théoriques même inapplicables m'intéressent aussi, tout autant que les aspects pratiques.

Vous avez remarqué qu'on a une bijection entre le plan et l'intérieur du disque (qui à X' associe X dans mes notations) et qui transforme les droites en cercles, il y a sans doute des jolies correspondances à établir entre les deux . Peut être qu'il serait plus logique par exemple de cherche le barycentre Z correspondant au centre Z' du cercle solution, sachant que les deux sont alignés avec F, mais que Z appartient à la même "géométrie".

L'objectif (le rêve) ce serait une méthode aussi simple que de prendre une règle pour relier deux points... De toute façon si ça reste trop lourd, je ne tenterai pas l'expérience parce que je suis un lâche, voilà tout.

[L.A.]

Un truc intéressant que je viens de voir pour mon problème (qui n'intéresse donc peut-être que moi... ) : si je considère toutes les "droites" (c'est à dire les cercles solutions) qui passent par un point fixé A à l'intérieur du cercle C, alors "elles" passent toutes par un autre point (disons (-A)) situé à l'extérieur de C.

Si on y réfléchit un peu, cette opposition entre A et (-A) correspond à l'identification de deux points diamétralement opposés sur une sphère pour former un plan projectif. La géométrie induite par ce que je propose dans le disque ouvert est identique à la géométrie du plan affine, celle induite sur tout le plan affine (plus un point à l'infini = sphère de Riemann) est identique à celle d'une sphère, le disque fermé privé disons d'une moitié de son bord jouant le rôle du plan projectif. D'ailleurs une simple projection stéréographique permet peut-être de retomber sur nos pieds, à voir...

Je ne sais pas si je me fais comprendre, mais en tout cas le tracé de (-A) est plutôt simple, puisque si on note [K1,K2] le diamètre de C perpendiculaire à (FA) alors les droites (AKi) et ((-A)Ki) sont perpendiculaires, et A, F, (-A) sont alignés. Deux points A,B est leurs opposés (-A), (-B) sont cocycliques, et vous devinez quel est le cercle solution.

En termes de nombre d'opérations c'est kifkif, mais on y gagne puisse le point opposé une fois tracé peut resservir plusieurs fois.

[Ben314]

Concernant les construction "simples", y'a quand même plein de truc à dire en restant dans le contexte de la géométrie basique via la notion d'axe radical, de puissance d'un point par rapport à un cercle et d'inversion :
Si un cercle C' coupe C en deux points P et Q alors l'axe radical des deux cercle (=l'ensemble des points M tels que la puissance de M par rapport à C et C' soit la même) c'est la droite (PQ) et P et Q sont diamétralement opposés sur C ssi F est sur cette droite, c'est à dire ssi la puissance de F par rapport à C' est la même que celle de F par rapport à C, c'est à dire -r² où r est le rayon de C.
Ca signifie que, si C' est un tel cercle alors si une droite passant par F coupe C' en R et S alors (mesures algébrique) et donc que si tu connait un point R de C', ça ce donne mécaniquement l'autre point d'intersection S de (FR) avec C' (c'est lui que tu nomme -R dans ton précédent post).
Et vu la formule , le point S (= ton point -R), c'est l'image de R par l'inversion de centre F et de rapport -r², qu'on peut voir
- Soit comme l'inversion qui envoie les point de C sur leur symétrique par rapport à F (inversion de rapport <0 donc sans points fixes)
- Soit comme la composée (commutative) de l'inversion ayant C comme cercle fixe (donc de rapport r²) et de la symétrie centrale de centre F.

Et je me demande si avec ce point de vue là, tu aurais pas intérêt à te fabriquer (ou acheter si ça existe encore) un dispositif de Peaucellier pour déterminer rapidement les images des points par l'inversion de cercle fixe C (i.e. de centre F et de rapport r²)