Probleme de symétrie en geométrie

par **muse** » 11 Déc 2007, 15:52

Bonjour tout le monde

Voila j'ai

Y= AX+B

Avec A=

et B=

Et il faut que je montre que SoS=Id je vois pas comment faire ...

merci

par **BQss** » 11 Déc 2007, 15:58

Le symétrique du symétrique d'un point, c'est le point lui même i.e SoS=Id.
Après je ne comprends pas quel est le rapport entre SoS=Id et ton application Y?

par **muse** » 11 Déc 2007, 16:02

On nous dit que L est une application affine définie par la formule matricielle Y=AX+B et il faut vérifier que SoS=Id

Merci

par **BQss** » 11 Déc 2007, 16:04

Mais SoS=Id n'a rien a voir avec Y, c'est valable tout le temps... Et je ne vois toujours pas quel est le rapport entre Y et S ici?

S est l'application qui renvoie le symétrique d'un point par rapport à une droite, un plan etc...
Y est une application affine de R^2 dans R^2.

Il y a un probleme dans ton ennoncé.
c'est pas YoY que l'on veut étudier par hasard parce que S n'est pas du tout définie ici?

par **BQss** » 11 Déc 2007, 16:14

Bon on montre que YoY(x)=Id.x pour tout x de R^2
avec YoY(x)=A^2x+AB+B=Id.x=x (tu calcules Y(Y(x)) et tu vas tomber sur Id.x)

donc YoY=Id

a+

PS: la prochaine fois, essaie d'etre plus clair...

par **Joker62** » 11 Déc 2007, 16:23

En fait, je suppose que s est l'application linéaire associé au système matricielle donné plus haut...

s est une symétrie affine autour de Y de direction Z(flêche) si et seulement si son application linéaire associée est une symétrie vectorielle autour de Y(flêche) de direction Z(flêche)

Donc le principe, c'est d'abord de trouver la caractéristique de la matrice A
qui est bien une matrice de symétrie car A² = I3
Donc trouve les éléments caractéristique de A et tu pourras conclure sur S

par **BQss** » 11 Déc 2007, 16:28

Salut Joker, pas besoin, en faisant Y(Y(x)) on tombe sur x pour tout x donc YoY=Id, il y a plus rien a faire apres...

par **muse** » 11 Déc 2007, 16:29

Donc en fait pour montrer que Y est une symétrie il faut montrer que YoY(x)=x

Ok merci beaucoup :)

par **BQss** » 11 Déc 2007, 16:31

muse a écrit:Donc il suffi d'avoir A²= id pour que ce soit une symétrie ?

ça veut dire que B n'intervient pas ?

Bien sur qu'il intervient calcules Y(Y(x)) et simplifie tu verras...
Allez au boulot!

par **Joker62** » 11 Déc 2007, 16:32

Oui on peut calculer YoY aussi, mais généralement on cherche les caractéristique de la symétrie vectorielle associée pour pouvoir conclure sur la symétrie par rapport à quoi ( plan, droite ) et dans quelle direction

par **BQss** » 11 Déc 2007, 16:33

rappel : un endomorphisme est un symétrie ssi sos=Id (involutif)

par **BQss** » 11 Déc 2007, 16:33

Joker62 a écrit:Oui on peut calculer YoY aussi, mais généralement on cherche les caractéristique de la symétrie vectorielle associée pour pouvoir conclure sur la symétrie par rapport à quoi ( plan, droite ) et dans quelle direction

Ouai biensur mais ou t'as vu qu'elle cherchait a caracteriser la symetrie

.

PS: je t'envoie aujourd'hui en pv une liste de cours de licence et M1 et tu pourras en choisir deux que j'te mettrai en ligne

, pas trop d'un coup

.

par **Joker62** » 11 Déc 2007, 16:38

En effet :D
C'est pas la question :)

Mais bon, parlait de symétrie sans caractéristiques, c'est comme parlait d'algèbre sans matrice :p

Edit : Cool merci :p

par **muse** » 11 Déc 2007, 16:47

Heu ... je suis un garçon

Et on a pas vu le mot caractéristique (enfin on a vu équation caractéristique d'une matrice y'a peut etre qqch a voir)

Sinon Je vous donne l'enoncé pour être plus claire:

Soit P un pan affine, munie d'un repere R={0,e1,e2}, et L l'application affine définie dans R par la formule matricielle Y=AX+B

Montrer que L est une symétrie affine. Donner l'expression matricielle de la projection de P associée. Préciser l'axe delte et la direction de cette symétrie.

Voila y'a tout donc j'arrive a montrer que YoY(x)=x mais je ne comprend pas la suite avec la projection. Je sais que une projection c'est quand YoY(x)=Y(x) mais c'est tout ...

par **Joker62** » 11 Déc 2007, 16:58

les caractéristiques d'une symétrie, c'est par rapport à quoi on effectue la symétrie ( un plan, une droite ) et dans quel direction ( une droite, un plan )

Pour les trouver, il faut pas oublier que une application vérifiant sos = id est une symétrie par rapport à F(s) = Y et dans la direction ker(s(flêche) + id)

où F(s) est l'ensemble des points fixe de s
et s(flèche) l'application linéaire associée à s

par **muse** » 11 Déc 2007, 17:12

Hum ok mais je vois pas comment trouver l'ensemble des points (qui doit etre une droite normalement non?)

Je ne vois pas non plus comment trouver la direction la ...

par **BQss** » 11 Déc 2007, 17:35

Voila Joker on y arrive

.

Si non muse pour la direction Joker te l'as donnée c'est

et le plan c'est

avec

la symétrie vectoriel associé représenté par la matrice A.

par **BQss** » 11 Déc 2007, 17:52

Joker62 a écrit:s est une symétrie affine autour de Y de direction Z(flêche) si et seulement si son application linéaire associée est une symétrie vectorielle autour de Y(flêche) de direction Z(flêche)

hmm et en y pensant d'ailleurs, ca c'est pas bon.
C'est pas parce que la partie linéaire est une symétrie que l'application affine est une symétrie, c'est une symétrie a une translation pres, ici en l'occurence c'est une symétrie on l'a vérifié.

donc tu vois que si g est une symétrie et f est une translation(i.e de partie linéaire Id) on aura la composée d'une symetrie et d'une translation dont la partie linéaire est toujours une symétrie...

En pratique donc on doit obligatoirement chercher si yoy=Id d'abord pour savoir si c'est une symétrie car vérifier la partie linéaire ne suffit pas.
Ou alors tu ne vérifies que la partie linéaire et tu cherches ensuite s'il y a des points invariant, s'il y en a au moins un c'est une symétrie si non il faut chercher qu'elle est la translation...

par **Joker62** » 11 Déc 2007, 17:58

J'y ai pensé après seulement !
C'est faux naturellement ;)

par **BQss** » 11 Déc 2007, 18:00

Oki, bon moi je vais taffer, parce que tous ca c'est des vieux souvenirs et aujourd'hui je ne fais plus que la théorie de la mesure du calcu sto et des probas :cry:, et faut donc que j'aille approfondir ca :briques: .

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