Probleme de geometrie stochastique (?)

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai bien aimé cet article sur la surface commune à 3 cercles. Ca parait un peu lourd, mais ça ne présente aucune difficulté pour un traitement informatique.
Le but étant de trouver une relation entre les hypothèses et la valeur de l'aire obtenue.
Une méthode amusante serait de déterminer un ensemble de triplets A, V1, V2, où A est l'aire obtenue avec les variables V1 et V2. Suivant certaines conditions, on peut trouver une fonction de ces 3 variables, sans résoudre les équations elles-mêmes.

[thomasTokyo]

Bonjour,
J'ai bien aimé cet article sur la surface commune à 3 cercles. Ca parait un peu lourd, mais ça ne présente aucune difficulté pour un traitement informatique.
Le but étant de trouver une relation entre les hypothèses et la valeur de l'aire obtenue.
Une méthode amusante serait de déterminer un ensemble de triplets A, V1, V2, où A est l'aire obtenue avec les variables V1 et V2. Suivant certaines conditions, on peut trouver une fonction de ces 3 variables, sans résoudre les équations elles-mêmes.

Oui, je pense aussi. En fait je recherche l'air de l'intersection de trois cercles lorsque la position des points est aleatoire MAIS conditionnee sur le fait que ces trois points doivent etre a une distance l'un de l'autre inferieure a une constante "r". Je note cette condition C1.

L'aire recherche doit donc etre la valeur moyenne de l'aire lorsque l'on moyenne sur le triplet de points aleatoires, nommons les U,V,W, uniformement distribues.

L'aire de l'intersection des trois cercles de centres U,V,W est definie par les distances entre ces trois points. Je suggere donc l'approche suivante.

On definie la distribution conjointe des trois distances UV, UW, VW.
Dans l'expression de l'aire moyenne de l'intersection, on integre sur l'ensemble des distances (UV=uv, VW=vw, UW=uw) permettant de satisfaire C1.

A partir de la je ne suis plus tres sur, mais je procederais comme suit.
Soit f la distribution conjointe de UV, UW, VW.
Par la regle de Bayes,
f(uv,uw,vw sachant C1)=f(uv sachant C1) * f(uw,vw sachant uv, C1)
f(uv sachant C1) est la distribution de la distance entre un point uniformement distribue sur un disque (vV) et le centre du disque (U). Par consequent
f(uv)=2*uv / (r^2)
La formule s'obtient en partant de la distribution conjointe des coordonnees de V dans un repere du plan centre sur U, puis passage en coordonees polaires et integration sur l'angle pour obtenir la distribution marginale de la distance UV. Laissez moi savoir si vous pensez ca juste.

Pour f(uw,vw sachant uv, C1) je ne suis pas trop sur. Je l'interprete comme:
f(uw,vw sachant uv, C1) = f(w sachant uv, C1)
C'est a dire la distribution d'un point W sur l'intersection des cercles de centres respectifs U=u et V=v.
Par consequent, f(w sachant uv, C1) = 1 / (aire de Cu inter Cv)

Voila mon raisonnement.
J'accueille toute critique avec plaisir.

Merci de votre attention!

Thomas

[thomasTokyo]

Oui, je pense aussi. En fait je recherche l'air de l'intersection de trois cercles lorsque la position des points est aleatoire MAIS conditionnee sur le fait que ces trois points doivent etre a une distance l'un de l'autre inferieure a une constante "r". Je note cette condition C1.

L'aire recherche doit donc etre la valeur moyenne de l'aire lorsque l'on moyenne sur le triplet de points aleatoires, nommons les U,V,W, uniformement distribues.

L'aire de l'intersection des trois cercles de centres U,V,W est definie par les distances entre ces trois points. Je suggere donc l'approche suivante.

On definie la distribution conjointe des trois distances UV, UW, VW.
Dans l'expression de l'aire moyenne de l'intersection, on integre sur l'ensemble des distances (UV=uv, VW=vw, UW=uw) permettant de satisfaire C1.

A partir de la je ne suis plus tres sur, mais je procederais comme suit.
Soit f la distribution conjointe de UV, UW, VW.
Par la regle de Bayes,
f(uv,uw,vw sachant C1)=f(uv sachant C1) * f(uw,vw sachant uv, C1)
f(uv sachant C1) est la distribution de la distance entre un point uniformement distribue sur un disque (vV) et le centre du disque (U). Par consequent
f(uv)=2*uv / (r^2)
La formule s'obtient en partant de la distribution conjointe des coordonnees de V dans un repere du plan centre sur U, puis passage en coordonees polaires et integration sur l'angle pour obtenir la distribution marginale de la distance UV. Laissez moi savoir si vous pensez ca juste.

Pour f(uw,vw sachant uv, C1) je ne suis pas trop sur. Je l'interprete comme:
f(uw,vw sachant uv, C1) = f(w sachant uv, C1)
C'est a dire la distribution d'un point W sur l'intersection des cercles de centres respectifs U=u et V=v.
Par consequent, f(w sachant uv, C1) = 1 / (aire de Cu inter Cv)

Voila mon raisonnement.
J'accueille toute critique avec plaisir.

Merci de votre attention!

Thomas

J'avais faux, comme je le craignais.
Il faut continuer a utiliser la regle de Bayes pour obtenir
f(uw,vw sachant uv, C1)=f(uw sachant uv, C1) * f(vw sachant uv,uw,C1)
Le premier terme a droite s'obtient de la meme maniere que f(uv)=2*uv / (r^2)
Quant au second terme, la distance vw est contrainte d'etre dans l'intervalle
[abs(uv-uw) , uv+uw], ce qui change la distribution.
Il faut considerer le point W en coordonees polaires dans le repere centre sur V contraint d'avoir une norme dans l'interval decrit ci-dessus. En partant de la fonction de distribution cumulee conditionelle (sur uv, uw, C1) de W en polaire, on derive pour obtenir la densite conjointe (norme W, angle W) dans le repere centre sur V. Il suffit ensuite d'integrer l'angle sur [0,2pi] pour obtenir la densite marginale de la norme.

J'ai simule tout ca. Avec cette derniere methode, le resultat semble bien plus plausible.