Problème de géométrie 2D

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stocke
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problème de géométrie 2D

par stocke » 11 Fév 2015, 18:12

:help:
Bonjour,
j'ai un problème que j'ai mis sous forme géométrique :

j'ai un quadrilatère quelconque MNOP

je construis les points A et B tels que :
vect OA = vect MN
vect OB = vect PM

je construis également le point P tel que :
vect OT = vect NO

question 1
ABP forme un triangle dont le cherche à exprimer la somme des côtés (ou bien la somme des carrés des côtés ça m'est égal pour résoudre mon problème) en fonction des longueurs des côtés de mon quadrilatère MNOP

question 2
Je cherche aussi la somme des longueurs suivante :
TA + TB + TP
(ou la somme des carré si c'est plus simple : TA² + TB² + TP²)
en fonction de des longueurs des côtés de mon quadrilatère MNOP

je ne sais pas si c'est très clair, alors je joins toujours à mon message un schéma de tout ça (les traits rouges font référence à la première question et les traits verts à la deuxième)
=> http://i.imgur.com/QLETZkE.png

merci d'avance de votre aide :lol3:



stocke
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par stocke » 11 Fév 2015, 19:09

je crois avoir trouvé la réponse de la question 2 en "jouant" avec geogebra :
je trouve la relation suivante :
TA² + TB² + TP² = MN² + 5*NO² + OP² + PM²
par contre je n'arrive pas à démontrer ce résultat de façon rigoureuse.

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chan79
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par chan79 » 12 Fév 2015, 01:58

stocke a écrit:je crois avoir trouvé la réponse de la question 2 en "jouant" avec geogebra :
je trouve la relation suivante :
TA² + TB² + TP² = MN² + 5*NO² + OP² + PM²
par contre je n'arrive pas à démontrer ce résultat de façon rigoureuse.

Salut
Bravo pour la conjecture.
Utilise le théorème de la médiane
TP²+PN²=
TB²+BN²=
TA²+AN²=
Ensuite tu utilises une formule qui donne la somme des carrés des côtés d'un quadrilatère et tu as ton égalité.

stocke
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par stocke » 12 Fév 2015, 11:00

chan79 a écrit:Salut
Bravo pour la conjecture.
Utilise le théorème de la médiane
TP²+PN²=
TB²+BN²=
TA²+AN²=
Ensuite tu utilises une formule qui donne la somme des carrés des côtés d'un quadrilatère et tu as ton égalité.


Je n'arrive pas à retrouver mon égalité
en appliquant le théorème de la médiane, j'ai :
TP²+PN²=1/2*TN²+2OP²
TB²+BN²=1/2*TN²+2OB²
TA²+AN²=1/2*TN²+2OA²
j'ai donc la relation :
TA²+TB²+TP²=3/2*TN²+2OP²+2OB²+2OA²
mais de la je ne parviens pas à retrouver mon égalité.
quelle relation pour la somme des carrés des cotés d'un quadrilatère faut-il utiliser ?

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chan79
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par chan79 » 12 Fév 2015, 11:55

stocke a écrit:Je n'arrive pas à retrouver mon égalité
en appliquant le théorème de la médiane, j'ai :
TP²+PN²=1/2*TN²+2OP²
TB²+BN²=1/2*TN²+2OB²
TA²+AN²=1/2*TN²+2OA²
j'ai donc la relation :
TA²+TB²+TP²=3/2*TN²+2OP²+2OB²+2OA²
mais de la je ne parviens pas à retrouver mon égalité.
quelle relation pour la somme des carrés des cotés d'un quadrilatère faut-il utiliser ?

TP²+PN²=1/2*TN²+2*OP²=2ON²+2*OP² car TN=2*ON
TB²+BN²=1/2*TN²+2OB²=2ON²+2OB²
TA²+AN²=1/2*TN²+2OA²=2*ON²+2OA²
donc, en ajoutant

TP²+TB²+TA²+PN²+BN²+AN²=6*ON²+2*OP²+2*OB²+2*OA²

Ensuite, on nomme K le milieu de [BP] et L le milieu de [PN]
D'après le théorème cité ci-dessous on a

OP²+PM²+MN²+ON²=PN²+OM²+4*LK²
soit
OP²+OB²+OA²+ON²=PN²+OM²+BN² car LK=BN/2
soit
OP²+OB²+OA²+ON²=PN²+AN²+BN²

Dans l'égalité rouge, on remplace donc PN²+AN²+BN² par OP²+OB²+OA²+ON²
et on simplifie pour obtenir

TP²+TB²+TA²=5*ON²+OP²+OB²+OA²
ou
TP²+TB²+TA²=5*ON²+OP²+PM²+MN²

Théorème utilisé:

Image

stocke
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par stocke » 12 Fév 2015, 12:05

chan79 a écrit:TP²+PN²=1/2*TN²+2*OP²=2ON²+2*OP² car TN=2*ON
TB²+BN²=1/2*TN²+2OB²=2ON²+2OB²
TA²+AN²=1/2*TN²+2OA²=2*ON²+2OA²
donc, en ajoutant

TP²+TB²+TA²+PN²+BN²+AN²=6*ON²+2*OP²+2*OB²+2*OA²

Ensuite, on nomme K le milieu de [BP] et N le milieu de [PN]
D'après le théorème cité ci-dessous on a

OP²+PM²+MN²+ON²=PN²+OM²+4*LK²
soit
OP²+OB²+OA²+ON²=PN²+OM²+BN² car LK=BN/2
soit
OP²+OB²+OA²+ON²=PN²+AN²+BN²

Dans l'égalité rouge, on remplace donc PN²+AN²+BN² par OP²+OB²+OA²+ON²
et on simplifie pour obtenir

TP²+TB²+TA²=5*ON²+OP²+OB²+OA²

je mets le théorème dans quelques minutes


"...et N le milieu de [PN]"
je vais être un peu perdu^^

merci pour la démo :we:

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par chan79 » 12 Fév 2015, 12:09

stocke a écrit:"...et N le milieu de [PN]"
je vais être un peu perdu^^

merci pour la démo :we:

étourderie
Je nomme L le milieu de [PN]
J'ai corrigé

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par stocke » 12 Fév 2015, 12:26

Sinon pour la question 1 quelqu'un a des pistes ? :help:

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par chan79 » 12 Fév 2015, 12:31

stocke a écrit:Sinon pour la question 1 quelqu'un a des pistes ? :help:

Tu as compris la démo ?

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par stocke » 12 Fév 2015, 12:49

chan79 a écrit:Tu as compris la démo ?


Oui je l'ai compris, merci :lol3:

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par chan79 » 12 Fév 2015, 12:53

stocke a écrit:Oui je l'ai compris, merci :lol3:

De la même façon, tu as:

AP²+BP²+AB²=3OP²+3PM²+3MN²-NO²

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par stocke » 12 Fév 2015, 13:02

chan79 a écrit:De la même façon, tu as:

AP²+BP²+AB²=3OP²+3PM²+3MN²-NO²

merci beaucoup, je vais essayer de refaire la démo pour cette relation

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par stocke » 13 Fév 2015, 12:19

chan79 a écrit:De la même façon, tu as:

AP²+BP²+AB²=3OP²+3PM²+3MN²-NO²


Je n'arrive pas à retrouver la démonstration pour cette dernière formule.
Si c'est la même démarche, peux-tu m'indiquer dans quel(s) triangles tu appliques le théorème de la médiane ?
Pour la dernière démonstration, on utilisait chaque fois TN car on connaissait le milieu O. Là je n'arrive pas à trouver de triangles faisant intervenir les 3 longueurs qui m'intéressent et un côté dont on connaisse le milieu.
merci d'avance

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par chan79 » 13 Fév 2015, 23:44

stocke a écrit:Je n'arrive pas à retrouver la démonstration pour cette dernière formule.
Si c'est la même démarche, peux-tu m'indiquer dans quel(s) triangles tu appliques le théorème de la médiane ?
Pour la dernière démonstration, on utilisait chaque fois TN car on connaissait le milieu O. Là je n'arrive pas à trouver de triangles faisant intervenir les 3 longueurs qui m'intéressent et un côté dont on connaisse le milieu.
merci d'avance

Soit K le milieu de [BP].

PO²+PM²=

OA²+OM²=

AO²+AM²=

AP²+AB²=

Ensuite, tu pars de la dernière égalité et tu remplaces

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par stocke » 16 Fév 2015, 18:27

chan79 a écrit:Soit K le milieu de [BP].

PO²+PM²=

OA²+OM²=

AO²+AM²=

AP²+AB²=

Ensuite, tu pars de la dernière égalité et tu remplaces


C'est bon je retrouve bien le résultat. Merci beaucoup !
juste une dernière question : pour le choix des triangles et des côtés sur lesquels il faut appliquer le théorème de la médiane, tu les as choisis selon une méthodologie précise ? Ou bien c'était de l'intuition ?

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par chan79 » 16 Fév 2015, 18:55

stocke a écrit:C'est bon je retrouve bien le résultat. Merci beaucoup !
juste une dernière question : pour le choix des triangles et des côtés sur lesquels il faut appliquer le théorème de la médiane, tu les as choisis selon une méthodologie précise ? Ou bien c'était de l'intuition ?

J'ai fait plusieurs essais jusqu'à ce que ça marche ...

 

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