Problème fonction Puissance Surjective Injective

[Manaus]

Bonjour!! Je suis nouveau sur le forum, j'ai un problème à résoudre et j’espère trouver ici un peu d'aide:

On me demande de trouver si la fonction suivante est surjective et/ou injective:

g: NxN -> N tel que g(n,m) = 2^n . 3^m

Selon moi
- elle n'est pas surjective car on ne peut pas avoir toute les valeurs de N comme résultat
- elle est injective car on ne peut pas avoir des valeurs différentes pour n et m qui permettent d'avoir le même résultat

Mais le problème c'est que je n'arrive pas à savoir comment prouver cela :mur:

Merci d'avance pour votre aide :we:

[t.itou29]

Bonjour!! Je suis nouveau sur le forum, j'ai un problème à résoudre et j’espère trouver ici un peu d'aide:

On me demande de trouver si la fonction suivante est surjective et/ou injective:

g: NxN -> N tel que g(n,m) = 2^n . 3^m

Selon moi
- elle n'est pas surjective car on ne peut pas avoir toute les valeurs de N comme résultat
- elle est injective car on ne peut pas avoir des valeurs différentes pour n et m qui permettent d'avoir le même résultat

Mais le problème c'est que je n'arrive pas à savoir comment prouver cela :mur:

Merci d'avance pour votre aide :we:

Salut !
Pour la surjectivité un contre exemple devrait suffit, n'importe quel nombre premier > 3 fera l'affaire.
Et pour l'injectivité l'unicité de la décomposition en facteurs premiers permet de le montrer (je pense)

[Manaus]

Merci beaucoup pour ta réponse!
Mais que veux tu dire par unicité de la décomposition en facteur premiers?

[Ben314]

Merci beaucoup pour ta réponse!
Mais que veux tu dire par unicité de la décomposition en facteur premiers?

C'est le résultat plus ou moins admis dés le collège (qui en fait n'est pas évident à démontrer) qui dit qu'un nombre entier quelconque peut s'écrire comme un produit de nombres premier et que cette écriture est unique (à l'ordre des facteurs prés évidement).
Par exemple 120=2x2x2x3x5 et il n'y a pas moyen d'écrire 120 comme produit de nombres premiers autres que ceux là.

Ici, ça te dit immédiatement que, si un entier s'écrit sous la forme a=2^n.3^m alors il n'y a qu'une seule façon de l'écrire comme ça. Et c'est justement la définition d'une fonction injective...

[Manaus]

Merci beaucoup Ben314 pour ton aide!
Je ne savais pas cela mais ça me sera très utile ici et pour d'autre problème je pense :)