Probleme avec les limites

[Watchout]

Bonjour amis matheux.
Récemment j'ai trouvé un magnifique dessin (faux) montrant que pi =4 que voici :



D'accord, ce dessin est faux, mais j'ai approfondi la question, et Je bloque quant aux limites qui pourraient expliquer le dessin.
J'en déduit donc que la différence entre pi et 4 est dûe à l'infinité de petits coins.
on aurait donc pi=4-(d x n) avec d distance entre chaque point dûe à l'angle et n le nombre de points totaux.
or on a une distance tendant vers 0 et un nombre de point tendant vers l'infini. on a une magnifique forme indéterminée. Mais ça ne s'arrête pas là puisque pi est environ égal à 3.14
donc 3.14= 4- (0 x infini)
donc 0 x infini = 4-3.14 = 0.86

Si on me trouve l'explication je suis l'homme le plus heureux du monde =D

[Ericovitchi]

Oui mais le problème c'est que le postulat que quand une courbe tend vers une autre, sa longueur tend vers la longueur de l'autre est faux comme on le voit bien sur ce dessin :


La courbe brisée garde toujours la même longueur, elle tend vers le segment plat mais les longueurs ne convergent pas (sinon la somme des 2 cotés d'un triangle serait égale au troisième)

[arnaud32]

ce qui converge en fait ce sont les aires pas les perimetres.
quelle est en terme d'integrale la definition de l'aire et du perimetre?

[Ericovitchi]

Pour que les longueurs convergent, il faut quoi ? la convergence uniforme de la famille de fonctions vers sa limite ?

[arnaud32]

plutot celle de la valeur absolue de la derivee je pense.

[arnaud32]

dans l'exemple d'Ericovitchi (qui est plus simple a ecrire)
fu as
tu verifies que converge uniformement vers f= 0
tu as donc aussi qui converge vers
par contre la longueur de la courbe est reste constante
(le nombres de points ou la drivee etant denombrable il est negligeable)
si tu calcules les derivees des f_n tu vera qu'il n'y a pas convergence

[Watchout]

oh mon dieu xD.
Qui aurait cru que ce serait un truc si louche xD.
Ps : moi pas comprendre xD

[arnaud32]

en gros tu as les aires qui diminuent mais pas le perimetre.
du point de vue de l'aire c'est intuitif et tu regardes en 2d pas de souci
du point de vue du perimetre, il faut en fait te placer en 1d en ccordonnees curvilignes, ce qui est tres peu intuitif.
ca vient juste du fait que si f_n converge uniformement vers f f'_n ne converge pas necessairement vers f'.