Problème avec Fubini (opérateur intégral)

[Peypeypey]

Bonjour , j'ai un soucis dans la preuve que l'adjoint d'un opérateur intégral est un opérateur intégral.
Voici les données du problème.
H: L²([a;b]) ; =int[a;b] f(x).conjugué[g(x)] dx
T:H-->H
f -> T(f) où T(f)(x)= int[a;b] K(x,y)f(y) dy ; K(x,y) noyau de l'opérateur T et K appartient à L²([a;b]x[a;b]) !!

Je parts de ==......= double intégrale [a;b]x[a;b] K(x,y)f(y)conjugué[g(x)] dy dx

PROBLEME: je cherche à appliquer Fubini pour sortir f(y) de la première intégrale, je dois donc m'assurer que K(x,y)f(y)conjugué[g(x)] soit dans L^1 ([a;b]x[a;b]) , mon problème est dans la justification de ceci.

Mon idée est que, comme K appartient à L²([a;b]x[a;b]),
si j'ai l'application (x,y) -> f(y)conjugué[g(x)] qui appartient à L²([a;b]x[a;b]) alors par Holder, j'aurais le produit K(x,y).f(y)conjugué[g(x)] dans L^1 ([a;b]x[a;b]), donc ça marcherait... mais bon je ne sais rien sur (x,y) -> f(y)conjugué[g(x)] ...

[lionel52]

Si f est L² sur un segment alors elle est aussi L1 !

[Peypeypey]

Si f est L² sur un segment alors elle est aussi L1 !

f est dans H= L²([a;b]) oui , g aussi
mais qu'est ce qui me dit que le terme sous la double intégrale est dans L1 ([a;b]x[a;b]) ( et pas
L1 ([a;b])

[Peypeypey]

Oui, donc comme la mesure de Lebesgue de R² appliquée à [a;b]x[a;b] est finie, on a l'inclusion de
L²( [a;b]x[a;b] ) dans L1 ( [a;b]x[a;b] ) .

Je ne vois pas de moyen pour montrer que le terme sous la double intégrale soit dans L2( [a;b]x[a;b] ).
Bien que chacun des 3 termes du produits soient dedans. (je pense pas que ces espaces soient stables par produit ? )


En revanche, j'ai bien que (x,y) -> f(y)conjugué[g(x)] est dans L1 ( [a;b]x[a;b] )
car en en faisant la double intégrale du module on obtient le produit de l'intégrale du module de f avec celle du module de g , qui sont toutes les 2 finies car comme tu l'as dit, L²([a;b]) est dans L1([a;b]).
Donc K(x,y) et (x,y) -> f(y)conjugué[g(x)] sont dans L2( [a;b]x[a;b] ) donc le produit des deux dans L1 ( [a;b]x[a;b] ), et donc je peux appliquer Fubini.