Fonctions propres d'un opérateur intégral

[dhahri]

Bonjour,
j'ai une petite question à laquelle je n'ai pas trouvé de réponses. Voila de quoi il s'agit:
on se donne un opérateur intégral de dans lui meme, de noyau qui vérifie (ce qui implique que est auto-adjoint). On suppose que , ce qui implique que est de Hilbert Shmidt et par suite compact. La question est: est ce que l'affirmation suivante est correcte:

est auto-adjoint et compact, , muni de son produit scalaire usuel, est un espace de Hilbert séparable donc il existe une base de formée des fonctions propres de .

Si ce n'est pas correcte est ce possible de me donner un contre exemple et merci bien davantage pour votre aide

[mathelot]

Bonsoir,

je connais pas du tout le sujet mais comme personne ne te répond,
je m'y colle:


Un vecteur propre pour l'opérateur:


ça ressemble à un problème de Cauchy, d'autant qu'avec les
hypothèses, et un peu d'inégalité de Schwarz, T semble
lipschitzien en norme .

si (e_k) est une base,peut être on peut voir



comme un problème de Cauchy avec condition initiale, ce qui donnerait peut être l'existence d'une base de fonctions propres (dans ce cas, il suffirait de construire les solutions du problème de Cauchy grâce à un théorème de point fixe comme d'habitude).