Problème d'analyse (polynomes)

[golodhedain]

Voici l'énoncé:

Donner et expliquer une formule pour le polynome p(x) de degre n qui satisfait
p(i) = yi pour i = 0, 1, . . . , n.

Pourriez vous m'aider, me donner des pistes? C assez urgent puisque j'ai un oral très bientôt.

Je dois surement utiliser cette expression mais je bloque.
y=a^nX^n + a^n-1X^n-1 + ... + a0

[girdav]

On peut utiliser des polynômes qui valent en et aux : un truc du genre .

[Nightmare]

'Hello,

l'idée assez simple est la suivante :

On va essayer d'écrire où les sont à trouver.

Pourquoi cette écriture? Parce qu'alors, on a une caractérisation plutôt simple de chaque :

Par exemple, on veut que . Une première idée pour les Pi serait donc de chercher tel que puis tous les autres Pi pour tels que , ie s'écrivant pour des certains Qi.

De même, comme on veut , on veut avoir et tous les autres Pi pour tels que , donc de même que ci-dessus, s'écrivant pour des certains Ri.

Et on voit déjà que, pour i différent de 0 et 1, les Pi s'écrivent alors .

on continue le raisonnement de la même façon, et au final, on va obtenir que chaque Pi va s'écrire . En effet, réciproquement, on voit bien qu'évalué en tout entier inférieur à n autre que i, les Pi ainsi définis valent tous 0. Il ne faut pas oublier qu'on veut aussi que Pi(i)=1 et que P soit de degré n. Ce dernier fait nous permet de choisir Ti(x) constant, et la donnée Pi(i)=1 nous donne que , c'est à dire que .

Au final, on va écrire


Par exemple, pour n=2 :

.

Tu vérifieras qu'on a bien p(0)=y0, p(1)=y1 et p(2)=y2.

Cette méthode d'interpolation est due à Lagrange.

[golodhedain]

Merci pour vos réponses rapides! Bonne soirée!