Probas et Séries

[MacManus]

Salut

Voici un autre exercice sur les probabilités, en lien avec les séries.

Soit une suite de variables aléatoires, indépendantes et identiquement distribuées, de loi donnée par : , et soit une suite numérique.

1) Montrer que si < , alors la série de terme général converge presque sûrement.

On souhaite maintenant prouver la réciproque. On suppose que la série de terme général converge presque sûrement.

2) Calculer la fonction caractéristique de (on la note )

il y a d'autres questions, mais chaque chose en son temps...

j'avoue que je ne vois pas comment commencer.
pour la question 2, il me semble que je dois calculer ... ?

Merci beaucoup pour votre aide

[girdav]

Bonjour,
le fait que les soient indépendantes montre que la fonction caractéristique que tu as à calculer est en fait un produit de fonctions caractéristiques.

[MacManus]

...?

[MacManus]

Si déjà quelqu'un peut me donner une piste pour la 1), car je ne vois pas comment faire.

...et pour la 2) je ne suis pas certain d'avoir trouvé l'expression d'une fonction caractéristique...

merci encore

[Joker62]

Tu connais le théorème de Kolmogorov qui donne une condition suffisante pour la convergence presque sûre d'une série de va ?

Je le rappelle si tu veux :
Soit (Xn) une suite de va telles que E(Xn) = 0 et La série de terme générale E(Xn^2) converge alors la série des Xn converge presque sûrement.

Reste à appliquer avec a_k.X^k (Et on voit bien l'importance de la convergence de ak^2

[MacManus]

oui il me semble en avoir entendu parler mais ça m'était complètement sortie de la tête. merci pour ce rappel, ça m'à l'air important en tout cas.

donc effectivement mes v.a. sont centrées : = 1 x (1/2) - 1 x (1/2) = 0 , pour tout n (elles ont même loi). Ce qui implique que

[Joker62]

Oui et comme E(Xn^2) = 1^2 * 1/2 + (-1)^2 * 1/2 = 1
On a E( (ak * Xk)^2 ) = ak^2 et on a le 1 :)

[MacManus]

On a aussi pour tout k plus grand que 1 :

... non ?

[MacManus]

Ahhhh ok ok : )
oui c'est toujours plus clair quand c'est écrit...
ok j'ai compris. merci beaucoup Joker !

[Joker62]

Au plaisir ;)

[MacManus]

Tu vois Joker mon prof m'a donné cette trame de TD de probas (de Lille)
et là en l'occurence c'est l'exercice 32 que je suis en train de faire...

http://math.univ-lille1.fr/~viano/Aphilippe-MCviano-exo-proba-MIM.pdf

voilà : )
et pour toi l'Agreg , tu as quand les résultats de l'écrit ?

[Joker62]

Les résultats de l'écrit c'est le 8 juin dans ces eaux là :)
Donc pour l'instant on bachote l'oral et on se détend, puis comme j'suis admissible au Capes, j'ai un peu moins la pression au cas où si j'repars bredouille.

Le problème pour l'instant c'est l'histoire du master2 nécessaire pour repasser l'agrèg l'année prochaine. On verra bien :)

Je regarde la fin de l'exo ;)

[MacManus]

ah Master 2 pour l'agreg, je n'savais pas, je pensais que ça concernait que le capes, mais dans cette logique, ça paraît logique. Pour ton admissibilité, tant mieux et bravo, tu vas sûrement adorer l'oral. 7 de mes amis ont été admissibles aussi (certains de vannes d'autres de nantes), bref ça m'a donné envie !!

[Joker62]

Oui maintenant c'est master 1 pour le CAPES et master 2 pour l'agreg. Enfin ça sert à rien :/.
Donc pour ton problème la fonction caractéristique de S_n c'est bien le produit des Cos(a_k.t)

Pour la suite je vois pas trop.
La seule piste vers laquelle je partirai c'est la suite convergence ps => convergence proba => convergence en loi
Et la la convergence en loi est caractérisé par la convergence simple de la fonction caractéristique. C'est ptète en ce sens qu'ils nous ont amené à ça.

Donc en gros, en quoi le fait que la série des ak^2 diverge nous assure que Phi_Sn tend vers 0 pour t fixé dans un voisinage :o

[MacManus]

Bon je vais y réfléchir tranquilement. En tout cas merci tu m'a bien aidé.
A bientôt !!