Probabilité : loi de Cauchy

[MacManus]

Bonjour

Je dois montrer qu'une variable aléatoire X suit la loi de Cauchy de densité .
Soit U = (S,T) un vecteur aléatoire à valeurs dans de fonction de densité
Soit de plus la fonction g définie de dans par g(s,t) = s/t si t différent de 0 et 0 si t=0

On définit la variable aléatoire X = g(U)
J'ai écrit que g est mesurable, borélienne et que d'après la formule de transfert on a :

j'ai ne vois pas quel changement de variable effectuer pour continuer le calcul...j'ai essayé x = s/t mais ça ne me donne rien... est-ce la bonne méthode? Merci à vous!

[barbu23]

Salut :
Tu fais un changement de variables polaires de la manière suivante :
et
et tu as : et tu termine le calcul de manière ordinaire en integrant sur deux variables : et
Cordialement !

[fatal_error]

Salut,


On en déduit :


On voit que est impaire. Donc je suis tenté de dire que cette double intégrale vaut 0.

Mais bon, ca me parait un peu suspect comme résultat :hum:

[MacManus]

Merci barbu23 et fatal. effectivement le passage en coordonnées polaires semble efficace je vais essayé de continuer le calcul (sans oublier le Jacobien ...) Au début j'ai procédé comme fatal en arrivant à la même expression , mais je n'avais pas pensé à utiliser l'imparité...
Merci en tous cas pour votre aide