DM Proba

[marie49]

Bonjour a tous! J'ai un DM de proba sur lequel je bloque un peu. Voici le contexte :

Soit un mouvement brownien standard sur .
On pose pour tout .
On définit la filtration et le processus X par : .
On prend p un entier pair et on définit la fonction

J'ai deja repondu a pas mal de questions, entre autres, j'ai montré que était une martingale, et que f était une fonction convexe.

A partir de là je dois montrer que est une sous-martingale relativement à .
Mais je n'arrive pas à montrer que pour tout .

Comme est une martingale relativement à , on a pour tout :

Est-ce que comme f est convexe on a :
? :hein:

Je voudrais utiliser l'inégalité de Jensen, mais je vois pas comment faire...
J'espère que vous pourrez m'aider à sortir de cette impasse!
Merci d'avance

[BQss]

Salut,

Oui on a ca et on a donc avec E(Wn|Fm)=Wm de par le fait que le brownien est une martingale:
Xm=Wm^2=f(Wm)=f(E(Wn|Fm))<=E(f(Wn)|Fm)=E(Wn^2|Fm)=E(Xn|Fm)
et (Xn)=(Wn^2) est une sous martingale.

[marie49]

Merci pour ton aide.
En fait, tout ca, je l'ai fait c'est juste que je comprend pas pourquoi mon inégalité est bonne? C'est un théorème? Je ne le retrouve pas dans mes cours...

[BQss]

oui l'inégalité est bonne, on peut en effet étendre l'inégalité de Jensen aux esperances conditionnelles, pour une demo tu peux aller voir proposition 3.2.12 à la page 63 ici:
http://www.proba.jussieu.fr/cours/processus.pdf

[BQss]

J'ajoute que intuitivement, cela ne pose pas de probleme vu que la proba conditionnelle définit en fait une nouvelle mesure, sur laquelle on applique la formule de Jensen, bien que l'esperance conditionnelle soit en fait une variable aléatoire Fm mesurable et non pas une quantité.

[marie49]

Merci beaucoup BQSS , en fait la prof ne nous avait pas dit qu'on pouvait etendre cette inegalité aux esperances conditionnelles, et meme si je me doutais que ca marchait, je n'arrivais pas a le demontrer!

[marie49]

Toujours dans le meme devoir, un peu plus loin, on pose p=4 et on me demande de calculer pour

Je sais que et sont independantes, donc , et on a aussi car est mesurable.
Donc j'ai pensé à utiliser la formule du binome et j'obtiens :





Et là je ne sais pas comment continuer, j'ai un théorème qui me dit que si X et Y sont des variables aleatoires telles que Y est G-mesurable et , alors donc ici par exemple pour , j'aimerais bien pouvoir sortir le , mais est-ce qu'on a bien ?

Je me demande si c'est bien comme ca qu'il faut faire.... Car de toute facon même si j'arrive à sortir il restera plein de trucs à simplifier! :soupir:
Est-ce que quelqu'un sait comment faire??
Merci beaucoup

[BQss]

Oui tu peux le sortir c'est fini(il suffit de décomposer Wk en (Wk-W(k-1))+Wk, puis tu te retrouves avec des produits de gaussiennes indépendantes (si tu devellopes dans l'esperance) dont le moment a tout ordre est fini.

Ensuite ca se simplifie tres bien, pour le dernier terme tu simplifies grace a la propriété martingale et pour les autres tu poses (Wk-W(k-1))+Wk et utilises l'indépendance des accroissements.

[marie49]

Désolée mais je comprend pas...

Si j'écris , j'ai :


Pour le dernier je suis d'accord que c'est fini... Mais pour les autres?? Je comprend pas pourquoi ils sont finis?

[BQss]

Ce serait en fait plus judicieux d'ecrire des le debut:
E(Wk^4-W(k-1)^4|F(k-1))=E(Wk^4|F(k-1))-W(k-1)^4=E([(Wk-W(k-1))+W(k-1)]^4|F(k-1))-W(k-1)^4

[BQss]

Désolée mais je comprend pas...

Si j'écris , j'ai :


Pour le dernier je suis d'accord que c'est fini... Mais pour les autres?? Je comprend pas pourquoi ils sont finis?

Il n'y a pas a majorer. Ils sont finis car ce sont des produits de gaussiennes indépendantes a la puissances p. Nullement besoin des valeurs absolue, utilise la décomposition puis l'indépendance, tu te retrouveras avec des E(Z^p)E(Y^n)avec Z et Y des gaussiennes...

avec Z indépendante de Y:
E((Z-Y)^2Y^2)=E(Z^2Y^2+Y^4-2Y^3)=E(Z^2)E(Y^2)+E(Y^4)-2E(Y^3)<l'infini car Z et Y sont gaussiennes.

[marie49]

C'est bon j'ai compris :we:

C'était plus simple que je le pensais! Merci pour ton aide BQSS

[BQss]

de rien :+++: