2) On suppose maintenant que =\frac{1}{4\pi}e^{-x /2} \mathds{1}_\R_+(x) \mathsds{1}_{[0,2 \pi]}(y))
Déterminer la loi de =( \sqrt{X}cos(Y), \sqrt{X}sin(Y)))
. Les variables U et V sont-elles indépendantes ?.
Je détaille tous car je ne maîtrise pas trop la méthode.
J'utilise le théorème de changement de variable:
Soit T=(U,V).
-Montrons qu'il existe un ouvert
de
pour lequel
=1)
. Cette condition apparaît dans mon cours mais sur les cours trouvé sur internet, elle n’apparaît pas. Je voudrais savoir déjà s'il faut obligatoirement la prouver pour utiliser le théorème et comment la prouver avec
- Soit
 \mapsto (\sqrt{X}cos(Y), \sqrt{X}sin(Y))) <br />\end{matrix})
avec
Montrons que
est bijective de
dans
, de classe
sur
et
est
sur
.
Injectivité:
Soit (x,y) , (x',y')
= \phi(x',y') \Rightarrow \begin{cases}<br />\sqrt{x}cos(y)= \sqrt{x'}cos(y') \\ <br />\sqrt{x}sin(y)= \sqrt{x'}sin(y') <br />\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}<br />x=x' & \\ <br /> y=y'&<br />\end{cases})
donc injective.
SurjectivitéSoit (u,v)
= u \\ <br />\sqrt{x}sin(y)= v <br />\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}<br />x= u^2+v^2 \\ <br /> \frac{v}{u}=\frac{sin(y)}{cos(y)}=tan(y)&<br />\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}<br /> x=u^2+v^2& \\ <br /> arctan(\frac{v}{u}) =y<br />\end{cases})
Donc
est bijective de
dans
et on a :
 \mapsto (u^2+v^2, arctan(\frac{v}{u})) <br />\end{matrix})
)=\begin{pmatrix}<br />\frac{cos(y)}{2 \sqrt{x}} &-\sqrt {x} sin(y) \\ <br /> \frac{sin(y)}{2 \sqrt{x}}& \sqrt {x} cos(y)<br />\end{pmatrix})
et
)=\begin{pmatrix}<br />2u & 2v \\ <br /> \frac{-v}{u^2+v^2}& \frac{u}{u^2+v^2}<br />\end{pmatrix})
Les d.p existent et sont continues sur
et
=\frac{1}{2}\neq 0)
et
=2 \neq 0)
Donc
est un
difféomorphisme et on peut appliquer le th de changement de variable:
T=(U,V) est donc continue et admet une densité par rapport à
donnée par:
=f_{(X,Y)}(\phi^{-1}(u,v))|det \ Jac \ \phi^{-1}(u,v)| \mathds{1}_{\mathcal{V}}(u,v) \Leftrightarrow f_T(u,v)=\frac{1}{2\pi} e^{-\frac{u^2+v^2}{2}}\mathds{1}_{\mathcal{V}}(u^2+v^2,arctan \frac{v}{u}) \mathds{1}_{\mathcal{V}}(u,v))
Peut-on encore simplifier l'écriture ? Je ne reconnais aucune loi pour l'instant...
Comment montrer l'indépendance pour ce cas ?
Merci
??