Proba

[Maneeeel]

salut,
On suppose qu'à la roulette d'un Casino, on obtient la couleur noire avec la probabilité 1/2, la couleur rouge sinon (bref, on ne suppose pas de 0 vert. . . ). Un joueur fortuné joue selon le protocole suivant :
- il mise initialement 1 brouzouf sur la couleur noire
-s'il gagne, il arrête de jouer et empoche le double de sa mise.
- s'il perd, il double sa mise et rejoue.
On suppose la fortune du joueur infinie.
Montrer que le jeu s'arrête presque sûrement. Déterminer l'espérance de gain du joueur

et si je suppose l événement An : jouer n parti et An+1 : jouer n+1 parti
donc le joueur aura perdu 1+2+4+16+.....+2^n brouzouf avant d avoir son premier succès pour arrêter de jouer et aura gagné a la n+1 fois 2^n+1 brouzouf , il est évident que le jeux s arrête surement , je n arrive pas a le demontrer !!

[Ben314]

Salut,
Effectivement, si le joueur perd les n-1 premières parties (éventuellement =0) et gagne la n-ième, il aura misé 1+2+...+2^n=2^(n+1)-1 et récupéré 2x2^n=2^(n+1) (le double de sa dernière mise) donc au total, il aura gagné 1 euro et il n'y a effectivement rien à calculer comme espérance (sont gain est systématiquement égal à 1... si le jeu s'arrête...)

Concernant le fait que le jeu s'arrête "presque sûrement", ben c'est bébête : la proba qu'il ne se soit toujours pas arrête après la n-ième partie, c'est 1/2^n (il faut qu'il ne soit sorti que des rouge) donc la proba que ça ne s'arrête jamais, c'est la limite des 1/2^n lorsque n->oo, c'est à dire 0 (*)

(*) En fait, là, il y a un "gros" truc de proba. concernant la dénombrable additivité de la mesure, mais pour une première approche des proba, on peut faire semblant que c'est "évident" (alors que ça l'est pas du tout...), ou alors décréter que c'est ça qu'on prend comme définition de "presque sûrement" dans un cas infini comme ici (sans se préoccuper de savoir si c'est bien cohérent comme définition, ce qui en fait n'est pas clair du tout)

[Maneeeel]

merci pour votre réponse ici dans ce cas l esperance d une constante est une constante donc l esperance du gain vaux 1 mais au cas ou il ne redouble pas sa remise apres chaque echec mais la tripler apres avoir effectuer le calcule j ai obtenu que le gain c'est (1+3^n )/2 et en calculons l espérance est infini , ce résonnement est il vrais et par quoi je peut interpréter le faite que l espérance est infini ?

[Ben314]

Oui, c'est bien ça : l'espérance, c'est la somme des [3^(n+1)-1] / 2^(n+1) et ça fait +oo.

Quand à "interpréter" le résultat, je sais pas trop ce qui est attendu. Perso, je pense que ce que j'écrirais, c'est un truc de ce style :
L'hypothèse "On suppose la fortune du joueur infinie" est évidement absurde concrètement parlant (sans parler du fait que, même si ça avait un quelconque sens, je vois pas ce que ça changerais à sa fortune qu'il gagne une somme quelconque, même infinie...).
Et si au lieu de supposer la fortune du joueur infinie, on la suppose "très grande" (mais finie), alors l'espérance du jeu redevient égale à 0 vu que dans ce cas, il a une très grosse proba de gagner une somme qui sera en moyenne "relativement" importante (mais pas tant que ça par rapport à sa fortune) mais il a aussi une toute petite chance de perdre une somme considérable (une part pas négligeable du tout de sa fortune).

Bref, si on si on bloque le jeu au n-ième coup (i.e. si c'est pas gagné avant ce coup là, alors on ne va pas plus loin et le joueur a perdu) alors lorsque n->oo, la proba de perdre tend vers 0, mais par contre, la somme perdue (en cas de perte) tend vers +oo et le produit des deux ne tend pas du tout vers 0, mais au contraire vers +oo.

[Ben314]

Et sinon, si ça t’intéresse, intellectuellement parlant cette histoire d'espérance "très grande" alors que c'est pas clair du tout du tout que tu ait intérêt à jouer à ce jeu, il y a un cas bien connu (paradoxe de Saint-Pétersbourg) où c'est encore pire et où on voit très clairement que l'interprétation simpliste "Espérance mathématique positive" signifie "j'ai intérêt à jouer" n'est pas du tout du tout claire :

Tu joue contre "la banque" à un jeu Pile/Face.
Au départ tu mise une somme S.
- Si le premier tirage est "Pile", tu récupère 1 Euro et le jeu s'arrête.
- Sinon on fait un deuxième tirage. Si ce deuxième tirage est "Pile", tu récupère 2 Euro et le jeu s'arrête.
- Sinon on fait un troisième tirage. Si ce troisième tirage est "Pile", tu récupère 4 Euro et le jeu s'arrête.
Etc etc (avec comme gain 1,2,4,8,16,...,2^n,...)
Trivialement, l'espérance de gain du joueur est infinie (quelque soit la mise de départ S) donc, normalement, quelque soit S, tu as "intérêt à jouer".
Sauf que, a ton avis, si la mise de départ est de 1 000 Euro (voire bien plus...), est ce que tu pense vraiment qu'il y a beaucoup de monde qui va se précipiter pour jouer à ce jeu ?

[Maneeeel]

salut
je ne crois pas que les gens vont y participer car la mise de départs et très élevée , mais personnellement je trouve qu il ont raison ,en revanche cette espérance est infini indépendamment de la somme déposé au début ; la probabilité qu on obtiens pile dans le premier lance c'est 1/2 on obtient 1 euro d une espérance de gain pour ce tour 1/2 , ........... de même si on continu le jeux au n eme lancé la probabilité de l 'événement est (1/2)^n le gain est 2^n-1 et l espérance gain est 1/2 , finalement l espérance tant vers l infini indépendamment de ce que j ai misé , mathématiquement le jeux est favorable pour moi non pour la banque que je mise la somme que je veux , mais au contraire si la somme est infini logiquement c 'est moi la perdante ...