Proba

[Obito31]

Bonjour
Dans un exo ils nous demande de dire si P définie par P ({n})= an/C où an est la suite définie par a0=0 et an=1/(n×2^n) et C=(sigma)an ( n allant de 0 à linfini ) est une probabilité sur N

Est-ce ce que je doit dire que P (N)= P ({1,2,...,n})=1/C ((sigma)an))=1
Ensuite comme an est inférieur ou égal C on a an/C inférieur ou égal 1 et comme an est à valeur positive a an/C supérieur ou égal à 0 donc elle est compris entre 0 et 1 ?

Quelqu'un pourrait m'expliquer à quoi correspond le cingleton n ? C'est un événement non ? Et aussi pour bien comprendre est ce dans la même ider par exemple dire soit l'ensemble {1,2,3,4,5} la probablite de tirer un nombre paire est de 2/5 on l'écrit P ({A}) où A est l'événement tirer un nombre paire. Et de manière générale sur N, P (A)=(E(n/2))/n.
Mais je n'arrive pas à faire le lien avec sa et l'exo.. ( désolé si je ne suis pas très claire.. )

[pascal16]

Je ne suis pas allé jusque là dans le proba mais, par analogie aux proba finies, il faut :
(tu l'as déjà donné)
(on va jusqu'à l'infini)

la seconde est donnée par la définition de C

[Ben314]

Salut,

Dans le cas d'une mesure de probabilité sur N, effectivement pour vérifier que ton truc en est bien une, il suffit de vérifier que les an/C sont positifs et que la somme de la série des an/C fait bien 1 (et en fait, le seul vague truc où il y a quelque chose à dire, c'est le fait que la série définissant C est bien convergente, le reste est complètement évident).

Ensuite, ton truc, ben c'est une espèce de "machine à tirer des nombres au hasard" et par exemple p({n}), c'est la proba que la machine "crache" précisément le nombre .
Par contre, si A est l'évènement "tirer un nombre pair", c'est à dire en fait l'ensemble des nombres pairs, alors p({A}) avec des accolades, ça veut rien dire du tout, vu que {A} c'est pas une partie des entiers.
Ce qui a du sens par contre c'est p(A) vu que A est bien une partie des nombres entiers (c'est l'ensemble des entiers pairs) mais ça risque pas d'être égal à E(n/2)/n principalement du fait que je vois franchement pas ce que viendrait f... un entier particulier n là dedans.
Vu la définition de ta proba, p(A), c'est la somme de tout les an/C pour tout les entiers pairs n et c'est un réel entre 0 et 1 (qu'on doit pouvoir calculer si on veut).
Et là où ton exo. est pas franchement (du tout) lié à un exo du type "On tire au hasard et avec équiprobabilité un élément de l'ensemble {1,2,3,4,5}", c'est qu'ici,
- Déjà, les différents entiers ne sont pas équiprobable (si tu calcule a1/C et a2/C par exemple, ben c'est pas la même chose) donc on ne peut pas appliquer les truc du style "proba=cas_favorable/cas_total" vu que c'est spécifique au cas équiprobable (mais j'espère que tu as déjà fait des proba dans des cas autre que ceux où il y a équiprobabilités des évènements "de base")
- Il y a une infinité de "résultats" possibles et pas uniquement 5 comme dans le cas où on tire un entier dans {1,2,3,4,5} donc pour calculer la proba. que la machine crache un nombre faisant parti d'un ensemble infini (par exemple la proba que la machine crache un nombre pair), c'est une somme infinie qu'il faut faire (i.e. calculer la somme d'une série) et bien sûr, ça fait que dans certains cas, on n'a plus que beaucoup du mal à déterminer la valeur exacte des proba. Par exemple avec la proba donnée dans ton exo. je pense pas qu'on arrive à calculer la valeur exacte de la proba que la machine crache un nombre premier.

[Obito31]

Salut ben et merci pour ta réponse,
Ah d'accord mais la probabilité de tirer un nombre paire par l'ensemble {1,2,...,n} n'est pas E (n/p)/n ? C'est quoi alors ?

Ah d'accord du coup la proba de tirer 2 ou 1 ou 4 ou n'importe quelle n sont toute différente..

Et du coup la proba que la machine donne un nombre paire c'est P (2N)=1\C (a2+a4+a6+... jusqu'à l'infini )

Et pour ce que tu disait par rapport à la convergence on sait que pour x compris entre 0 et 1 , ln (1-x)=-(sigma)x^n/n (somme de 1 à l'infini ) et donc -ln (1/2)=sigma1/(n×2^n)

Et donc après ils nous demande de calculer P ({0}), P({4}),P ({N*}) Est-ce respectivement 0, (-1/(64×ln (1/2)) et 1 ? Et donc c'est résultat sont les proba que la machine donne respectivement 0 , 4 et N*

[Ben314]

Ah d'accord mais la probabilité de tirer un nombre paire par l'ensemble {1,2,...,n} n'est pas E (n/p)/n ? C'est quoi alors ?

Si tu tire au hasard un entier de {1..n} avec équiprobabilité, alors effectivement la proba qu'il soit pair est E(n/2)/n, mais s'il n'y a pas équiprobabilité, alors ça peut être n'importe quoi (entre 0 et 1) (et dans ton post. précédent où tu as écrit E(n/2)/n, je ne vois nulle part où tu fait mention d'un tirage aléatoire entre 1 et n, ni nulle part où tu précise qu'il y a équiprobabilité)

Et du coup la proba que la machine donne un nombre paire c'est P (2N)=1\C (a2+a4+a6+... jusqu'à l'infini ) <= OUI

Et donc après ils nous demande de calculer P ({0}), P({4}),P ({N*}) Est-ce respectivement 0, (-1/(64×ln (1/2)) et 1 ? Et donc c'est résultat sont les proba que la machine donne respectivement 0 , 4 et N*

O.K. pour p( {0}) et p({4}) ainsi que leur valeurs.
Mais de nouveau, p({N}), ça n'a aucun sens, {N} c'est pas une partie de N (c'est une partie de P(N) qui est l'ensemble des partie de N).
De même, il n'y a pas la moindre chance que la machine donne N* vu que la machine donne des entiers et que N*, le moins qu'on puisse dire, ben c'est que c'est pas un entier.
Ce qui vaut 1, c'est p(N*) qui est la proba que le nombre donné par la machine appartienne à N* ce qui n'a évidement rien à voir avec la proba que la machine donne N*.

Est ce que, sous prétexte qu'il y a des bonbons dedans tu dit que ton sac de course EST un bonbon ?
Ne fait tu pas la différence entre "un bonbon qui est dans le sac" et "un bonbon qui est le sac" ?
Ben là, c'est pareil (en bref, ça "arrache les yeux" au niveau du sens des phrases...)

[Obito31]

Oui en effet j'aurai du préciser..

Non mais j'ai mit les cingleton Sans faire exprès !

Ah d'accord oui je dit n'importe quoi c'est la proba d'avoir un élément de N*.. merci !

Dans un autre exo du style ils nous donne P définie par P ({i})=C.ai où ai=1/i! Si i est pair et ai=0 si i est impair avec i appartenant à N, ils nous disent de montrer que C=1/ch (1) et il nous donne pour sa que ch (x)=(sigma) de 0 à linfini de ai.x^i, x appartenant a R (fin cette question n'est pas très importante ce que m'intéresse c'est le reste )

Ensuite ils nous demande le support de P ( pourrait tu m'expliquer c'est quoi )

Et enfin il nous demande de calculer P (N), P (R+) et P (]0,3 [)

Si j'ai compris la proba d'avoir un nombre impair c'est 0 ? Et donc pourrai tu m'expliquer un peu comme faire avec les autres N, R+ et l'intervalle

[Ben314]

Le "support", dans le cas général, c'est un peu compliqué à définir (il faut des bases de topologie), mais dans le cas discret comme ici, c'est facile : c'est l'ensemble des réels qui ont une proba non nulle d'être tirés (attention quand même à se rappeler que c'est spécifique au cas discret : tu verra sans doute plus tard des cas continus où c'est assez différent)
Donc là, c'est clair : le support, c'est l'ensemble des entiers naturels pairs.

Ensuite, les proba des différents ensemble que tu donne, c'est à chaque fois la somme des proba des entiers naturels pairs qui font parti de l'ensemble en question (vu que les autres réels ne peuvent pas être tiré).
Pour N et pour R+, c'est donc la somme de tout les C/(2i)! et ça fait 1 par définition.
Et p(]0,3[) c'est la même chose que p({2})=C/2! vu que 2 est le seul entier naturel pair contenu dans ]0,3[.