Proba / modélisation

[egan]

Salut tout le monde,

J'ai des doutes sur comment modéliser un problème concret avec les outils dont on dispose en proba.
Je veux modéliser l'expérience suivante.

Je me donne un dés non biaisé. Je veux m'intéresser aux résultats que donneront 10 lancés consécutifs par exemple.
Pour cela je me donne 10 variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace de proba à valeurs dans [1;6] et de même lois, c'est-à-dire .

Jusque là, tout va bien, du moins je l'espère.
Maintenant j'aimerais simuler les résultats obtenus pour chaque tirage. Pour cela, je pensais me donner un élément de et les résultats de mes tirages seraient alors:



Cela vous paraît-il acceptable ?

Merci d'avance.
@+ Boris.

[Arkhnor]

Bonsoir.

Tes lancers sont-ils indépendants ? Si oui (ce qui est raisonnable comme hypothèse), il faut imposer que les variables soient indépendantes.

La modélisation mathématique (formelle) est correcte autrement. Bien sur, il faut s'assurer de l'existence d'un espace probabilisé sur lequel existeraient toutes ces variables indépendantes. Mais c'est une conséquence de la théorie; et on a une façon simple de le construire en prenant le produit muni de la proba uniforme; et en considérant les projections sur les facteurs comme variables aléatoires.

Qu'appelles-tu "simuler" ? Avec un ordinateur ?

[egan]

Oui mes lancers sont bien indépendants.

Je voulais plutôt dire modéliser que simuler. En fait je voulais surtout savoir si j'avais bien modéliser de la bonne manière les résultats de chaque lancer en prenant un en particulier.
Est-ce bien comme cela que l'on fait en pratique ?

[egan]

Quelqu'un est-il d'accord avec moi sur le dernier point ?

[Arkhnor]

Que veux-tu dire par "je me donne un " ?

La modélisation mathématique est correcte : on se donne une famille de variables aléatoires qui vérifient les conditions que tu as énoncées, plus l'indépendance.

L'intérêt de la théorie des probabilités, c'est qu'on étudie les variables aléatoires plutôt que l'espace probabilisé sur lequel elles sont définies. On sait qu'il existe, et ensuite on l'oublie.

[egan]

Les résultats des tirages sont bien modélisés par les avec un élément fixé de non ?

Et par je me donne, j'entends j'en choisis un au pif puisque est non vide.

Mon gros soucis c'est de réussir à modéliser les résultats des tirages. Je ne vois pas comment faire à part comme ça.

[Arkhnor]

Oui, on tire au hasard un suivant la probabilité qu'on a mis sur l'espace probabilisé. Le tirage est alors donné par .

Mais en pratique, on ne fait pas référence au , ni à l'espace probabilisé, sauf si on a pas le choix.

[egan]

En fait je voulais essayer de montrer un résultat mais je rencontre quelques soucis.

On prend un dé non biaisé. On lance ce dé de manière indépendante un nombre dénombrable de fois. C'est ce que je vais appelé un tirage.

On peut montrer sans trop de problème qu'il existe un tirage et un entier N tel que 1 apparaît au moins 1 fois avant le N-ième lancé compris.
Avec les notations que j'ai adoptées plus haut, ça revient à montrer que:



En raisonnant par l'absurde, ça donnerait:



Ce qui contredit le fait que la proba d'obtenir 1 est non nulle.

Par contre, je ne suis pas trop sûr que le résultat suivant soit vrai.
Pour tout tirage il existe un entier N tel que 1 apparaît au moins une fois avant le N-ième lancé compris.
Ce qui se traduit par:



avec et A = {1}.

Je comptais raisonner par l'absurde.
Ca nous amène à nous intéresser à:



Avec la loi forte des grands nombres, je montre la convergence presque sûre de la moyenne des Y_n vers .
J'aboutis donc presque à une absurdité sauf qu'il faudrait que mon omega soit de mesure non nulle.
Ca je peux le faire en construisant l'espace de départ de toutes mes variables aléatoires comme je le veux (en fait comme tu l'as suggéré). Mais est-ce que c'est bien légitime ?

[Arkhnor]

Je traduis le problème.

On dispose d'une suite de variables aléatoires indépendantes, et suivant toutes une distribution uniforme sur . (dans le message initial, tu ne parlais que d'un nombres fini de variables; pour assurer l'existence d'une suite (donc un nombre infini) de variables toutes indépendantes, alors il faut utiliser un théorème relativement fort, mais bien connu)

On peut montrer sans trop de problème qu'il existe un tirage et un entier N tel que 1 apparaît au moins 1 fois avant le N-ième lancé compris.
Avec les notations que j'ai adoptées plus haut, ça revient à montrer que:

Je ne traduirai pas l'énoncé de la même manière.
Pour moi, ça signifie que la probabilité qu'il existe avec est égale à 1.. Ce qui est plus fort que ce que tu mentionnes.

Pour prouver l'énoncé tel que je l'interprète, c'est un calcul de la probabilité de l'événement recherché : on le décompose comme l'union disjointe de , de , ..., de etc
On calcule la probabilité de chaque terme en utilisant l'indépendance, et on calcule la probabilité de l'union de tous ces événements, qui est égale à la somme de toutes les probabilités car les événements sont 2 à 2 incompatibles.

Une autre façon, c'est de montrer que l'événement a une probabilité nulle : on l'exprime comme l'intersection décroissante des événements . On calcule la probabilité de chacun de ces événements grâce à l'indépendance, et on prend la limite pour obtenir la probabilité de l'intersection, d'après une propriété des probabilités.

Je regarde la deuxième partie plus tard.

[Arkhnor]

J'aboutis donc presque à une absurdité sauf qu'il faudrait que mon omega soit de mesure non nulle.
Ca je peux le faire en construisant l'espace de départ de toutes mes variables aléatoires comme je le veux (en fait comme tu l'as suggéré). Mais est-ce que c'est bien légitime ?

Non, ce n'est pas légitime, et c'est même faux ici : les singletons ont une mesure nulle pour l'espace probabilisé considéré.

La différence avec le tout premier post est qu'ici on a besoin d'une quantité infinie de variables aléatoires indépendantes, alors que dans ton premier post tu n'en souhaitais qu'un nombre fini. (tu en souhaitais uniquement 10, alors que maintenant tu lances le dé un nombre dénombrable de fois)

Dans le cas d'un nombre fini de v.a. indépendantes, l'espace probabilisé peut être choisi comme muni de la tribu discrète et de la proba uniforme. Dans ce cas, les singletons ont une proba non nulle.

Mais dans le cas d'un nombre dénombrable (une suite) de v.a. indépendantes, on peut là encore construire un espace probabilisé qui supporte une quantité infinie de v.a. iid, mais les singletons ont une mesure nulle.

En fait, une des possibilités de construction, par analogie avec le cas d'un nombre fini de va, c'est de considérer l'espace produit , c'est à dire l'ensemble des suites à valeurs dans . Chaque dans cet espace est donc un tirage possible. Il y a un nombre infini de tirages possibles, et il est assez évident que chaque tirage a une chance égale de se produire : ça force donc chaque tirage à avoir une probabilité nulle.

C'est la même situation que lorsqu'on tire un nombre réel uniformément dans [0,1]. (d'ailleurs, l'espace mesuré que je décris ici est isomorphe au segment [0,1] muni des boréliens et de la mesure de Lebesgue : pour modéliser de façon équivalente le tirage de dés qui t'intéresse, on peut écrire chaque nombre réel en base 6, tirer un nombre réel entre [0,1] uniformément et lire son développement en base 6; ça nous donne un tirage qui satisfait tout ce dont tu as besoin : indépendance et distribution identique, uniforme sur )

Juste deux mots à propos de : on ne le munit pas de la tribu de l'ensemble des parties, mais d'une tribu plus petite (appelée tribu produit)
On peut montrer que sur cet espace, il existe une (unique) probabilité telle que les projections sur les composantes forment une famille iid de variables aléatoires suivant une proba uniforme sur
C'est le contenu d'un théorème assez fort.

PS : J'ai modifié de façon non négligeable mon précédent post, n'oublie pas de le relire.

[egan]

Déjà, merci pour tes réponses !!

Je ne traduirai pas l'énoncé de la même manière.
Pour moi, ça signifie que la probabilité qu'il existe avec est égale à 1.. Ce qui est plus fort que ce que tu mentionnes.

Ce que tu proposes ça veut dire que pour "presque tous" les tirages, on obtient une fois 1.
Je voulais montrer qu'à chaque tirage, on obtient forcément une fois 1, ce qui se traduit par:



C'est plus fort que ce que tu proposes. Mais est-ce que c'est vrai ?

[egan]

Dans ton premier message, j'ai un peu du mal à comprendre pourquoi tu prends comme espace de départ des variables aléatoires . Pourquoi pas tout simplement ?

J'ai l'impression que tu considères les comme le vecteur . Mais dans ce cas là, si j'évalue en 3 par exemple, rien ne me dit que j'évalue les autres en 3.

Je pensais plutôt prendre comme espace de départ avec la proba uniforme et évaluer toutes les variables aléatoires en le même point de .

[Arkhnor]

Je voulais montrer qu'à chaque tirage, on obtient forcément une fois 1, ce qui se traduit par:



C'est plus fort que ce que tu proposes. Mais est-ce que c'est vrai ?

Bah non. Regarde l'espace probabilisé que j'ai proposé pour ton expérience. La suite composée uniquement de 2 fait partie de l'espace probabilisé. C'est le tirage où on aurait tiré uniquement des 2.

En proba, on ne peut pas prouver des résultats vrais "tout le temps". On prouve des résultats vrais "presque surement"; au sens où la probabilité que le résultat soit faux est égale à 0.

Et c'est suffisant.

Dans ton premier message, j'ai un peu du mal à comprendre pourquoi tu prends comme espace de départ des variables aléatoires . Pourquoi pas tout simplement ?

C'est pour avoir l'indépendance des variables aléatoires. Comment tu définis tes 10 variables aléatoires sur l'espace que tu proposes ? Les variables aléatoires sont des fonctions définies sur un espace probabilisé. Si tu proposes comme espace comme espace, comment tu définis 10 variables aléatoires uniformes et indépendantes là dessus ?
As-tu compris ce que j'ai voulu dire par "projection sur une composante" ?

[egan]

Bah non. Regarde l'espace probabilisé que j'ai proposé pour ton expérience. La suite composée uniquement de 2 fait partie de l'espace probabilisé. C'est le tirage où on aurait tiré uniquement des 2.

Tu mets donc comme proba sur l'espace que tu proposes la proba suivante:



C'est ça ?

En proba, on ne peut pas prouver des résultats vrais "tout le temps". On prouve des résultats vrais "presque surement"; au sens où la probabilité que le résultat soit faux est égale à 0.

Donc le résultat que je voulais prouver à la base est faux ?

C'est pour avoir l'indépendance des variables aléatoires. Comment tu définis tes 10 variables aléatoires sur l'espace que tu proposes ? Les variables aléatoires sont des fonctions définies sur un espace probabilisé. Si tu proposes comme espace comme espace, comment tu définis 10 variables aléatoires uniformes et indépendantes là dessus ?
As-tu compris ce que j'ai voulu dire par "projection sur une composante" ?

Là je suis largué.