Principe du maximum

[S@N-SaYaN M@n]

Bonjour,
Est-ce que quelqu'un pourrait me dire, ce que signifie (une interprétation physique, ou géométrique), en général (ou me donner un lien).

En effet, j'ai rencontré cette expression dans plusieurs champ des mathématiques, sans véritablement avoir pris la mesure de l'expression.
Je connais les preuves mathématiques, mais si on me demande ce que c'est que le principe du maximum je suis incappable de répondre...

Merci

[El_Gato]

Le principe du maximum est un résultat sur les fonctions analytiques complexes. Dans sa formulation la plus générale, c'est à dire pour plusieurs variables, ce résultat est le suivant:

Soit P un polydisque ouvert contenant l'origine dans et une série entière à p variables complexes () et à coefficients dans un espace de Banach complexe E. Soit sa somme.
S'il existe une boule ouverte autour de l'origine 0 de telle que, pour tout , on a alors f est constante.

Cette propriété n'est pas vraie pour les fonctions analytiques réelles comme le montre l'exemple de .

Une conséquence de ce thèorème est que, pour une fonction analytique complexe définie sur un ouvert A, les points où elle atteint son maximum sur un compact K inclus dans A sont situés sur la frontière de K.

Quand on étudie attentivement la démonstration de ce théorème, on s'aperçoit qu'elle met en évidence une propriété surprenante de la variable complexe: l'existence d'un continuum de valeurs pour l'argument (au lieu des seules possibilités +1 et -1 dans le cas réel), associée au type spécial de "relation" locale entre points voisins imposée par la dérivabilité complexe, obligent une "rigidisation" du graphe de la fonction dans le cas complexe.

[S@N-SaYaN M@n]

Merci beaucoup, j'aimerai aussi savoir,

Quel est le rapport entre ce principe du maximum et
1) : le principe du maximum d'entropie
2) : le principe du maximum utilisé en théorie des EDP, pour montrer l'unicité des solutions (principe fort, principe faible)

S@N-SaYaN

[El_Gato]

Merci beaucoup, j'aimerai aussi savoir,

Quel est le rapport entre ce principe du maximum et
1) : le principe du maximum d'entropie
2) : le principe du maximum utilisé en théorie des EDP, pour montrer l'unicité des solutions (principe fort, principe faible)

S@N-SaYaN

Pour 1) je ne sais pas. Pour 2) je pense cela provient des rapports que tout ceci entretient avec les fonctions harmoniques: les solutions de l'équation de Laplace, les fonctions harmoniques, possèdent la propriété de la valeur moyenne et vérifient le principe du maximum.

[quinto]

Le principe du maximum n'est pas uniquement vrai pour les fonctions holomorphes complexes.
C'est un principe qui est vrai pour une large classe de fonctions (par exemple les fonctions sous harmoniques)
f vérifie le principe du maximum (en général) si f atteint son maximum sur X implique que f atteint son maximum sur la frontière de X. (ie pas dans l'intérieur de x)

C'est par exemple le cas des fonctions convexes.
A+

[redwolf]

Es tu sur que c'est le cas pour les fonctions convexes ?

[quinto]

Es tu sur que c'est le cas pour les fonctions convexes ?

Si je ne dis pas de bétise, les fonctions sous harmoniques de R^n, (ou C^n) dérivables sont exactement celles dont le laplacien est positif. Notamment, pour n=1 ca correspond à la dérivée seconde et aux fonctions convexes.

[redwolf]

Ah oui ! Tout à fait. Je pensais tout simplement aux fonctions concaves...

Merci

[S@N-SaYaN M@n]

Une question annexe : d'où vient la dénomination "harmonique" ? Pourquoi appelle t'on les solutions du Laplacien ainsi ?

[S@N-SaYaN M@n]

Salut,
Donc personne ne peut me donner une équation sur l'origine du mot harmonique en math ?

Merci d'avance.

S@N-SaYaN

[El_Gato]

Salut,
Donc personne ne peut me donner une équation sur l'origine du mot harmonique en math ?

C'est parceque les harmoniques sphériques satisfont à l'équation de Laplace. Elles forment même une base orthogonale des solutions de cette equation.

[hans]

Bonsoir je profite de ce sujet sur le principe du maximum, pour vous demander si vous sauriez comment résoudre l'exercice suivant:

est une fonction de dans dérivable au sens complexe en tout point. Montrer que le maximum de sur un compact est atteint sur .

Ca n'est rien d'autre que ce fameux principe du maximum mais je n'arrive pas à passer de la dérivabilité au caractère holomorphe puis à l'analyticité.

[sept-épées]

mais je n'arrive pas à passer de la dérivabilité au caractère holomorphe puis à l'analyticité.

Pour une fonction d'une variable complexe, ce sont trois mots pour la même chose...

[abcd22]

Pour une fonction d'une variable complexe, ce sont trois mots pour la même chose...

...oui mais complètement hors-programme en MP*...
La démonstration n'est pas évidente, ça m'étonnerait que ce soit ce qu'il faut faire pour résoudre l'exercice. Tu le sors d'où cet exercice ? S'il a été donné à un concours ils ont dû admettre que la dérivabilité au sens complexe impliquait l'analyticité (et faire démontrer le principe du maximum¹ avant en utilisant l'analyticité), ce n'est pas faisable sinon.
J'ai regardé dans mon cours d'analyse complexe, pour démontrer ce théorème on a utilisé l'analyticité (qui implique que si le module atteint son maximum en z0, l'ensemble des points au voisinage desquels f(z) = f(z0) est ouvert et fermé dans l'intérieur de K) et le principe du maximum pour dire que cet ensemble est non vide.

¹ celui qui dit que si f est holomorphe et |f| admet un maximum local en a, f est constante au voisinage de a, pas celui qu'il faut montrer dans l'exercice

[hans]

...oui mais complètement hors-programme en MP*...
La démonstration n'est pas évidente, ça m'étonnerait que ce soit ce qu'il faut faire pour résoudre l'exercice. Tu le sors d'où cet exercice ? S'il a été donné à un concours ils ont dû admettre que la dérivabilité au sens complexe impliquait l'analyticité (et faire démontrer le principe du maximum¹ avant en utilisant l'analyticité), ce n'est pas faisable sinon.
J'ai regardé dans mon cours d'analyse complexe, pour démontrer ce théorème on a utilisé l'analyticité (qui implique que si le module atteint son maximum en z0, l'ensemble des points au voisinage desquels f(z) = f(z0) est ouvert et fermé dans l'intérieur de K) et le principe du maximum pour dire que cet ensemble est non vide.

¹ celui qui dit que si f est holomorphe et |f| admet un maximum local en a, f est constante au voisinage de a, pas celui qu'il faut montrer dans l'exercice

Oral de l'X 2005, pas très rassurant...
Il y a une question avant celle-ci qui demande de montrer la meme chose mais pour une série entière, en introduisant l'intégrale et là c'est assez facile.
Je pense que l'objectif doit etre de se ramener à ce cas simple.