Principe du module maximum

[fleurbleue]

Bonjour
On a récemment vu en cours d'analyse le principe du module maximum et son corollaire. Cela peut paraître bête mais j'ai du mal à le comprendre. Pouvez-vous m'éclairer un peu plus s'il vous plaît? ( Je le connais par coeur je vous demande juste de l'expliquer je vous en serais très reconaissnte.
Merci d'avance à tous

[Elias]

Salut,

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Son énoncé ? Sa démonstration ? Ou alors tu ne vois pas encore comment il peut être utile dans les exercices ?


Moi je te conseillerais de faire quelques exercices d'utilisation de ce principe pour bien te l'approprier. J'aime bien ce site par exemple
http://www.bibmath.net/ressources/index ... &type=fexo

[fleurbleue]

Oui je ne vois pas comment il peut être utilisé. Je connais aussi ce site et justement je n'arrive pas à comprendre la correction...

[Elias]

Le principe du module du maximum: Soit un ouvert connexe deet une fonction holomorphe. Si a un maximum local sur alors est constante sur .

On rappelle que est un maximum local de |f| signifie qu'il existe une boule centrée en x0 contenue dans tel quepour tout x dans cette boule.

Ce principe te dit qu'hormis les fonctions constantes, le module d'une fonction holomorphe sur un domaine (=ouvert connexe) ne peut pas avoir de maximum local.

Par exemple, si tu prends une fonction holomorphe non constante sur le disque unité fermé. C'est un compact donc l'image par |f| (continue) de est un compact (dans R) donc |f| possède un maximum global sur atteint en un point : pour tout x dans
Mais comme.f est holomorphe, d'après le principe du maximum, on ne peut pas avoir (disque ouvert connexe) car alors serait un maximum local.


Donc du coup, ce maximum est forcément atteint sur le bord du disque fermé, c'est à dire (cercle de centre O et de rayon 1). Dans ce cas particulier, en en déduit par exemple que

En étant légèrement astucieux, t'en déduis pas mal de trucs avec ce principe. T'as pas mal d'applications dans bibmaths.

[Ben314]

Salut,

On rappelle que est un maximum local de |f| ignifie que pour tout x dans

hummm...
A mon avis il faudrait aller revoir la définition de ce qu'est une propriété (par exemple un maximum) "locale"...

[fleurbleue]

Le principe du module du maximum: Soit un ouvert connexe deet une fonction holomorphe. Si a un maximum local alors est constante sur .

On rappelle que est un maximum local de |f| ignifie que pour tout x dans
(et aussi qu'il existe une boule centrée en entièrement contenue dans mais là comme j'ai supposé ouvert, c'est automatique).

Ce principe te dit qu'hormis les fonctions constantes, le module d'une fonction holomorphe sur un domaine (=ouvert connexe) ne peut pas avoir de maximum local.

Par exemple, si tu prends une fonction holomorphe non constante sur le disque unité fermé. C'est un compact donc l'image par |f| (continue) de est un compact (dans R) donc |f| possède un maximum global sur atteint en un point : pour tout x dans
Mais comme.f est holomorphe, d'après le principe du maximum, on ne peut pas avoir (disque ouvert connexe) car alors serait un maximum local (maximum OK et local car il est dans un ouvert).

Donc du coup, ce maximum est forcément atteint sur le bord du disque fermé, c'est à dire (cercle de centre O et de rayon 1). Dans ce cas particulier, en en déduit par exemple que

En étant légèrement astucieux, t'en déduis pas mal de trucs avec ce principe. T'as pas mal d'applications dans bibmaths.

Mais tu as prix comme exemple le cercle unité fermé alors que l'une des conditions du principe du mod max est que le domaine soit ouvert connexe non?
"Mais comme.f est holomorphe, d'après le principe du maximum, on ne peut pas avoir (disque ouvert connexe) car alors serait un maximum local (maximum OK et local car il est dans un ouvert). " Ici je ne vois pas comment t'as utilisé le principe du maximum .
Je suis désolée mais j'ai vraiment du mal à le comprendre.
Merci d'avance

[mathelot]

supposons f holomorphe non constante sur un ouvert connexe
et avec r>0
f est continue et admet donc un maximum sur le compact
ce maximum ne peut pas être atteint dans l'intérieur de
soit dans . f atteint donc son maximum à la frontière de D(0;r)
soit sur le cercle de centre de rayon r
NB: l'intérieur d'un ensemble, en topologie, est le plus grand ouvert que contient cet ensemble.

[Elias]

Le principe du maximum je l'applique en prenant disque ouvert qui est bien connexe et pas au cercle unité.

[fleurbleue]

supposons f holomorphe non constante sur un ouvert connexe
et avec r>0
f est continue et admet donc un maximum sur le compact
ce maximum ne peut pas être atteint dans l'intérieur de
soit dans . f atteint donc son maximum à la frontière de D(0;r)
soit sur le cercle de centre de rayon r
NB: l'intérieur d'un ensemble, en topologie, est le plus grand ouvert que contient cet ensemble.

Oui mais pourquoi le max ne peut être atteint dans l'intérieur du disque fermée ? Le principe du maximum s'applique à un ouvert connexe pas à un fermé.

[mathelot]

supposons f holomorphe non constante sur un ouvert connexe
et avec r>0
f est continue et admet donc un maximum sur le compact
ce maximum ne peut pas être atteint dans l'intérieur de
soit dans . f atteint donc son maximum à la frontière de D(0;r)
soit sur le cercle de centre de rayon r
NB: l'intérieur d'un ensemble, en topologie, est le plus grand ouvert que contient cet ensemble.

Oui mais pourquoi le max ne peut être atteint dans l'intérieur du disque fermée ? Le principe du maximum s'applique à un ouvert connexe pas à un fermé.

supposons le module maximum atteint en c'est un maximum global sur connexe quelconque.
s'il est atteint à l'intérieur (l'intérieur correspondant à une notion de topologie) il devient aussi un maximum local. Ce qui n'est possible que si f est constante.

[fleurbleue]

supposons f holomorphe non constante sur un ouvert connexe
et avec r>0
f est continue et admet donc un maximum sur le compact
ce maximum ne peut pas être atteint dans l'intérieur de
soit dans . f atteint donc son maximum à la frontière de D(0;r)
soit sur le cercle de centre de rayon r
NB: l'intérieur d'un ensemble, en topologie, est le plus grand ouvert que contient cet ensemble.

Oui mais pourquoi le max ne peut être atteint dans l'intérieur du disque fermée ? Le principe du maximum s'applique à un ouvert connexe pas à un fermé.

supposons le module maximum atteint en c'est un maximum global sur connexe quelconque.
s'il est atteint à l'intérieur (l'intérieur correspondant à une notion de topologie) il devient aussi un maximum local. Ce qui n'est possible que si f est constante.

Oui j'ai bien compris que si elle atteignait son max en un point intérieur alors elle est nécessairement constante. Mais dans l'exemple que tu m'as donné, tu m'as dit qu'elle atteignait son max à la frontière de puisque'elle n'est pas constante . Mais ce point de la frontière n'est il pas un point intérieur de l'ouvert connexe ? En fait c'est ce point que je ne comprends pas.

[mathelot]

...

[Ben314]

Si est un domaine plan (on peut le supposer connexe)
il possède un intérieur qui est...

Bon, ben non seulement il faudrait s'entendre sur ce qu'est une propriété locale, mais visiblement il faudrait aussi s'entendre sur ce qu'est un domaine.
Pour moi, (et c'est ce que disent la majorité des cours sur les fonctions holomorphes) un domaine de C, c'est un ouvert connexe de C (et l'un des premiers trucs que l'on démontre, c'est que c'est forcément aussi connexe par arc).

[mathelot]

bon, j'ai effacé mon message pour ne pas induire en erreur fleurbleue

@fleurbleue: tu as des lacunes en topologie. renseigne toi sur ce que sont l'intérieur, la frontière,d'un ensemble, l(adhérence d'un ensemble,un ouvert, un fermé d'un espace topologique

[Ben314]

Oui j'ai bien compris que si elle atteignait son max en un point intérieur alors elle est nécessairement constante. Mais dans l'exemple que tu m'as donné, tu m'as dit qu'elle atteignait son max à la frontière de puisque'elle n'est pas constante . Mais ce point de la frontière n'est il pas un point intérieur de l'ouvert connexe ? En fait c'est ce point que je ne comprends pas.

Le max de sur le disque fermé est effectivement atteint en un point situé à la frontière du disque (c'est à dire sur le cercle de centre et de rayon ).
Vu qu'on a pris le disque fermé contenu dans l'ouvert , le point est effectivement dans (et ça ne sert évidement à rien de dire qu'il est dans l'intérieur de vu que est ouvert).
Sauf que , c'est pas du tout un max, ni même un max local de sur vu que si tu prend un disque , même minuscule centré en , c'est vrai que ce disque aura une partie commune avec et que, pour les dans cette partie commune, on aura bien vu que est le max de [sur le [/b].
Par contre, le problème, c'est que vu où est situé , le disque a forcément aussi une partie disjointe de et que pour les dans cette partie là, ben il n'y a aucune raison que l'on ait . Et même plus fort que ça : tu est même sûre qu'il y a au moins un dans cette partie tel que vu que sinon, ça contredirait le principe du maximum.

Et pour revenir à un truc nettement plus "concon", prenons la fonction x->x^2 de Omega=R+ dans R et le disque (dans R) de centre 2 et de rayon 1, c'est à dire l'intervalle [1,3].
Sur ce "disque", le max (global) de f est évidement 9=3^2=f(3), mais tout aussi clairement, ce 9=f(3) n'est absolument pas du tout un maximum local de f sur Omega=R+.
Et si on veut rester dans le cas de R (où c'est plus visuel), on a un théorème (plus ou moins vu au Lycée et facile à démontrer) qui nous dit que :
Si f est une fonction de Omega (= ouvert de R) dans R dérivable et si xo (de Omega) est un max local de f alors alors on a forcément f'(xo)=0.
On peut énoncer ça de façon un peu bizarre pour que ça ressemble (vaguement) au principe du module maximum :
Si f est une fonction de Omega (= ouvert de R) dans R dérivable et telle que f'(x) soit non nul pour tout x de Omega alors f ne peut pas admettre de max local sur Omega.
Et arrivé à ce point la, tu peut, exactement comme dans C, te poser la question : et si je prend un intervalle [a,b] (fermé borné) contenu dans Omega, il se passe quoi ?
- D'un coté, il y a un théorème classique qui te dit que sur [a,b], la fonction continue f admet un maximum global f(xo) en un point xo de [a,b].
- Et d'un coté autre coté, le théorème ci dessus te dit que ce xo ne peut pas être un max local de f sur Omega (modulo toujours de supposer que f'(x) est non nul pour tout x de Omega).
Et la conclusion, elle est claire, c'est que le xo en question, c'est soit a, soit b (vu que si c'était autre chose, ça serait un max local sur Omega).
Et évidement, ce résultat est on ne peut plus "normal" et "logique" : si on suppose en plus que f' est continue, alors le fait qu'elle ne s'anulle jamais signifie qu'elle est de signe constant sur n'importe quel intervalle contenu dans Omega, donc en particulier sur [a,b], donc f est monotone sur [a,b] et il est bien évidement que dans ces condition (de monotonie) le max de f sur [a,b], ben il est atteint soit en a, soit en b, mais que ce n'est sûrement pas un max local sur Omega (par exemple si f est croissante, le max sur [a,b] est en x=b, mais en se déplaçant un peu à droite de b, ça continue à augmenter, donc b n'est pas un max local sur Omega)

[Elias]

Y'a un truc que je comprends pas trop (mais ça doit dépendre des auteurs).
On prend une fonction où X est un espace topologique. On suppose qu'il existe et un voisinage V de tel que pour tout x dans V,

C'est quoi qui est un maximum local, c'est ou?

Je veux bien considérer que c'est quand on parle de max local (et plutôt dire que est un max global atteint en si l'inégalité est vraie pour tout x) mais à priori, ça change à chaque fois au fur et à mesure du post.

Sauf que , c'est pas du tout un max local de

______________________________________________________

ce 9=f(3) n'est absolument pas du tout un maximum local de f sur Omega=R+.
______________________________________________________

si xo (de Omega) est un max local de f

______________________________________________________

sur [a,b], la fonction continue f admet un maximum global f(xo) en un point xo de [a,b].
______________________________________________________

le max de f sur [a,b], ben il est atteint soit en a, soit en b, mais que ce n'est sûrement pas un max local sur Omega

[Ben314]

Du point de vue purement sémantique, il n'y a aucune ambiguïté, le max de f sur Omega, c'est évidement f(xo) et pas xo.
Mais évidement on peut écrire que "le max de f est atteint lorsque x=xo" ça reste parfaitement correct.
Ca : "le max de f est atteint en xo" voire "le max de f est en xo" je pense que c'est toujours O.K. (je suis pas super balaise en Français : il faudrait éventuellement demander à un linguiste)
Par contre, effectivement, si on lit ou écrit ça "le max de f est xo" là, c'est incorrect.

P.S. Si tu trouve un auteur qui écrit un truc du style "le max de f est xo" à la place de "le max de f est en xo" (ou un truc du même style), ça m’intéresserait de savoir lequel c'est.

P.S. : Là où on voit que c'est "pas gagné" au niveau enseignement, c'est quand on voit que la mode, à l'heure actuelle, pour rédiger des preuves, c'est très nettement de le faire "en Français" et pas avec du "pure symbolique" (), ce qui me semble parfaitement normal vu que le "pur symbolique", dans les mains de pas mal d'étudiant, ça devient du charabia complet et absolu. Sauf que le "petit" problème, ben c'est que pour rédiger "en Français", ben il faut... maîtriser le Français... et que vu l'état actuel, le moins qu'on puisse dire, c'est que c'est pas gagné..

[Elias]

P.S. Si tu trouve un auteur qui écrit un truc du style "le max de f est xo" à la place de "le max de f est en xo" (ou un truc du même style), ça m’intéresserait de savoir lequel c'est.

En fait, je l'avais lu sur ce forum dans un de tes posts et je m'étais alors posé la question :

Si une fonction f est définie sur une partie X quelconque de C (ou de R) et à valeur dans R, on dit que le complexe zo de X est un "maximum local" de la fonction f lorsque :
1) Il existe un rayon r>0 tel que le disque D de centre z0 et de rayon r soit entièrement contenu dans X
2) pour tout z de D on a f(z) \leq f(zo)

superieur/analyse-complexe-principe-maximum-local-t192875.html


Donc ici "z0 est un max local" au lieu de "f atteint en z0 un max local".

Mais j'ai vu que tu faisais en revanche la distinction "machin est max / la fonction atteint en machin un max" lorsqu'il était question de maximum global et plus local.
Donc je me demandais si on pouvait faire cette différence suivant qu'on parle de max local ou global.

Après je n'ai pas vu d'auteur particulier donner cette définition là de max ("le max de f est x0" au lieu de" le max est atteint en x0") mais c'est souvent dans les corrections d'exercices. Après comme tu l'as dit, le lecteur (bien averti) corrige toujours de lui même et commprends bien sûr ce qui a voulu être dit.

Et ça évite au posteur de compliquer les phrases pour chercher à être parfaitement rigoureux au détriment de la comprehension.

[Ben314]

Oui, j'avais pas fait gaffe.
Et j'était même en train de me demander comment le dire "proprement", mais tu donne la réponse :
f admet un max local en xo