Primitives d'expressions trigonométriques

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Toine44
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Primitives d'expressions trigonométriques

par Toine44 » 30 Nov 2021, 12:24

Bonjour à tous.
Je viens solliciter votre éclairage face à deux petits problèmes liés aux intégrations.
En effet, je cherche une primitive de deux expressions, sachant que je ne peux travailler dans C, et que je ne peux pas faire appel aux formules de Moivre.

Voici les deux expressions :

A = x²/((x²-5)^(3/2))

B = 8 sin²(x/3) cos (x/3)

Pour A, je n'obtiens rien par substitution trigonométrique, ni même en réécrivant U^(3/2) sous la forme U × racine (U).
Pour la B, j'ai bien tenté quelques " bricolages " , mais je me retrouve à devoir déduire une primitive de cos³(x).

Bref, je tourne en rond.
Avec des calculateurs de primitives en ligne j'obtiens des résultats dont je suis bien éloigné pour le moment.
Comment procéder?

Merci d'avance à tous, pour vos réponses. :-)



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mathelot
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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par mathelot » 30 Nov 2021, 14:19

Bonjour,
pour la question (B)


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mathelot
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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par mathelot » 30 Nov 2021, 14:30

pour la question (A):







où C est une constante réelle

Pisigma
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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par Pisigma » 30 Nov 2021, 15:02

Bonjour,

pour la A, comme tu es en Sup, si tu manipules les fonctions hyperboliques, tu peux aussi poser


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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par Toine44 » 30 Nov 2021, 15:09

Merci beaucoup à toi.
Je ne savais que dx/racine(x²-5) était un lemme. Comment le démontrer? Cette expression n'est pas dans notre formulaire (nous avons démontré l'ensemble des expressions du formulaire, d'ailleurs).
En revanche, je ne vois pas comment passer de l'expression B à 8 sin³(x/3), et surtout qu'en faire?
Ces deux expressions me perturbent beaucoup. Jusqu'ici je n'avais pas rencontré de problème. Encore une fois, merci d'avance.

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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par Toine44 » 30 Nov 2021, 15:17

Pisigma a écrit:Bonjour,

pour la A, comme tu es en Sup, si tu manipules les fonctions hyperboliques, tu peux aussi poser



Merci. Oui, j'avais bien vu cette possibilité, mais les fonctions hyperboliques font parties des restrictions... C'est bien dommage, d'ailleurs.

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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par Pisigma » 30 Nov 2021, 15:22

une "vieille méthode" poser

B) poser

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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par mathelot » 30 Nov 2021, 17:59

Formules utilisées
Pour la (A), l'intégration par parties

où u et v sont deux fonctions continues.

Pour la (B)

où u et v sont deux fonctions dérivables.
Modifié en dernier par mathelot le 30 Nov 2021, 20:27, modifié 2 fois.

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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par Pisigma » 30 Nov 2021, 19:50

mathelot a écrit:Formules utilisées
Pour la (A), l'intégration par partie



oui c'est évident mais cela suppose une connaissance du lemme ; est-ce connu en France?

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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par mathelot » 30 Nov 2021, 19:57

j'ai employé le terme "lemme" comme un nom commun. Un lemme désigne un résultat préliminaire à un théorème (exemple, le lemme de Zorn)

Pisigma
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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par Pisigma » 30 Nov 2021, 20:05

donc on n'y gagne pas grand chose en passant par l'intégration par parties

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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par mathelot » 30 Nov 2021, 20:55

@Pisigma: pour la question (A), as tu un calcul qui évite une intégration par parties ?

Pisigma
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Re: Primitives d'expressions trigonométriques

par Pisigma » 30 Nov 2021, 22:14

poser mais le prof de Toine44 n'en voulait pas

ou poser

 

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